Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
(u-v) times(u+v)=2 u times v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a identidade do produto vetorial (u-v) times (u+v) = 2,utimesv vale para quaisquer vetores u,vinR^3. O conteúdo principal aqui é trabalhar com as propriedades de bilinearidade (distributividade) e anticomutatividade do produto vetorial.

Passo 2

Como o produto vetorial é bilinear em ambos os argumentos, podemos expandir o lado esquerdo usando distributividade em um único passo:

Passo 3

Aplicando o fato de que atimesa=0 e que vtimesu=-utimesv (anticomutatividade), fica claro que os termos se combinam para dar o resultado final:

Resposta

2,\mathbf{u}\times\mathbf{v}

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