Analise a convergência das integrais:
d integral1^infty 1raize^x-x d x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria integral1^infty 1raize^x - x,dx. Vamos usar análise de comportamento assintótico e testes de comparação para integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, observamos o limite inferior x=1. Como e^1 - 1 = e-1>0, o integrando 1/raize^x - x é contínuo em [1,infty) e não há problema de divergência em x=1.

Passo 3

Agora, analisamos xtoinfty. Para grandes x, temos e^x - xsim e^x, então
1raize^x - xsim1raize^x=e^-x/2

Passo 4

Aplicamos o teste da comparação: como 0<=1raize^x - x e para x grande existe constante tal que
1raize^x - x<= C,e^-x/2,

Passo 5

e sabemos que integral1^inftye^-x/2,dx converge (é uma integral exponencial), concluímos que a integral dada também converge.

Resposta

A integral integral1^infty 1raize^x - x,dx converge.

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