Dados os vetores vec{u}=(8,7) e vec{v}=(9,-4), determinar o vetor vec{x} tal que,
-5 vec{x}-4(3 vec{v}- vec{u})=-9(-6 vec{x}-7 vec{u})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(8,7) e \vec{v}=(9,-4) e pede para determinar o vetor \vec{x} que satisfaz a igualdade
-5\vec{x}-4\bigl(3\vec{v}-\vec{u}\bigr)=-9\bigl(-6\vec{x}-7\vec{u}\bigr).
Informações relevantes:
  • \vec{u}=(8,7).
  • \vec{v}=(9,-4).
  • A incógnita é o vetor \vec{x} (temos de achar suas componentes).

Passo 2

Vamos representar o vetor incógnita por componentes. Escrevo
\vec{x}=(x_1,x_2),
onde x_1 é a primeira componente e x_2 a segunda. Essa é a forma padrão para trabalhar componente a componente.

Passo 3

Primeiro vou calcular o termo interno do lado esquerdo: 3\vec{v}-\vec{u}.
3\vec{v}=3(9,-4)=(27,-12), \qquad 3\vec{v}-\vec{u}=(27,-12)-(8,7).
Agora faço a subtração componente a componente:
3\vec{v}-\vec{u}=(27-8,\,-12-7)=(19,-19).

Passo 4

Multiplico esse resultado por -4 e componho com -5\vec{x} para obter o lado esquerdo totalmente em componentes.
-4(3\vec{v}-\vec{u})=-4(19,-19)=(-76,76).
-5\vec{x}-4(3\vec{v}-\vec{u})=-5(x_1,x_2)+(-76,76)=(-5x_1-76,\,-5x_2+76).

Passo 5

Agora calculo o lado direito. Primeiro o interno -6\vec{x}-7\vec{u}:
-7\vec{u}=-7(8,7)=(-56,-49), \qquad -6\vec{x}-7\vec{u}=(-6x_1-56,\,-6x_2-49).
Multiplicando por -9:
-9(-6\vec{x}-7\vec{u})=-9(-6x_1-56,\,-6x_2-49)=(54x_1+504,\;54x_2+441).

Passo 6

Agora igualo as duas expressões componentes a componente, pois dois vetores são iguais iff suas componentes correspondentes são iguais. Assim obtemos o sistema
-5x_1-76=54x_1+504,
-5x_2+76=54x_2+441.

Passo 7

Resolvendo a primeira equação para x_1. Primeiro isolo os termos com x_1:
-5x_1-76=54x_1+504
-5x_1-54x_1=504+76
-59x_1=580.
Dividindo ambos os lados por -59,
x_1=-\dfrac{580}{59}.

Passo 8

Resolvendo a segunda equação para x_2:
-5x_2+76=54x_2+441
-5x_2-54x_2=441-76
-59x_2=365.
Dividindo por -59,
x_2=-\dfrac{365}{59}.

Passo 9

Juntando as duas componentes obtidas, o vetor solução é
\vec{x}=\left(-\dfrac{580}{59},\,-\dfrac{365}{59}\right).

Resposta

\displaystyle \vec{x}=\left(-\dfrac{580}{59},-\dfrac{365}{59}\right)

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