Dados os vetores vec{u}=(8,7) e vec{v}=(9,-4), determinar o vetor vec{x} tal que,
-(3 vec{u}+ vec{x})=2(-8 vec{v}+3 vec{x})-9( vec{u}+ vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(8,7) e \vec{v}=(9,-4) e pede para determinar o vetor \vec{x} que satisfaça a equação
-(3\vec{u}+\vec{x})=2(-8\vec{v}+3\vec{x})-9(\vec{u}+\vec{v}).
Resumo do que é pedido:
  • Determinar \vec{x} (um vetor em \mathbb{R}^2) que torna verdadeira a igualdade vetorial acima.
    Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{u}=(8,7).
  • \vec{v}=(9,-4).
  • A igualdade entre vetores significa que as componentes correspondentes são iguais.

Passo 2

Relembrando operações vetoriais que vou usar (explicação didática):
  • Multiplicação de um vetor por escalar: se a é escalar e \vec{w}=(w_1,w_2) então a\vec{w}=(a w_1, a w_2).
  • Soma e subtração de vetores: \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2).
  • Distribuição do escalar sobre soma: a(\vec{p}+\vec{q})=a\vec{p}+a\vec{q}.
  • Igualdade vetorial: \vec{r}=\vec{s} vale se e somente se as componentes x e y forem iguais, isto é, r_1=s_1 e r_2=s_2.
    Esses conceitos permitem manipular a equação como se fosse uma equação algébrica, tratando \vec{x} como incógnita vetorial.

Passo 3

Vamos expandir e simplificar ambos os lados usando distribuição e agrupamento de termos vetoriais.
Escrevendo o lado esquerdo:
-(3\vec{u}+\vec{x}) = -3\vec{u} - \vec{x}.
Escrevendo o lado direito e distribuindo:
2(-8\vec{v}+3\vec{x})-9(\vec{u}+\vec{v}) = 2(-8\vec{v}) + 2(3\vec{x}) -9\vec{u} -9\vec{v}.
Agora simplificando os escalares:
2(-8\vec{v}) = -16\vec{v},\qquad 2(3\vec{x})=6\vec{x}.
Logo o lado direito é
-16\vec{v} + 6\vec{x} -9\vec{u} -9\vec{v} = 6\vec{x} -9\vec{u} -25\vec{v}.

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões obtidas:
-3\vec{u} - \vec{x} = 6\vec{x} -9\vec{u} -25\vec{v}.
Vamos juntar termos semelhantes (colocar todos os termos contendo \vec{x} de um lado, os outros do outro lado). Para isso, passo a passo:
subtrai-se 6\vec{x} de ambos os lados e adiciona-se 3\vec{u} a ambos os lados; ou faça tudo de uma vez:
(-3\vec{u}-\vec{x}) - (6\vec{x}-9\vec{u}-25\vec{v}) = \vec{0}.
Calculando:
-3\vec{u}-\vec{x}-6\vec{x}+9\vec{u}+25\vec{v}=\vec{0}.
Agrupando:
(-3\vec{u}+9\vec{u}) + (-\vec{x}-6\vec{x}) + 25\vec{v} = \vec{0}.
Ou seja,
6\vec{u} -7\vec{x} +25\vec{v} = \vec{0}.

Passo 5

Isolando \vec{x} da equação anterior:
-7\vec{x} + 6\vec{u} + 25\vec{v} = \vec{0} \quad\Rightarrow\quad 7\vec{x} = 6\vec{u} + 25\vec{v}.
Portanto
\vec{x} = \frac{6}{7}\vec{u} + \frac{25}{7}\vec{v}.
Essa é a expressão vetorial da solução. Agora vamos calcular as componentes numéricas usando \vec{u}=(8,7) e \vec{v}=(9,-4).

Passo 6

Calculemos as multiplicações escalares e a soma de componentes:
6\vec{u} = 6(8,7) = (48,42).
25\vec{v} = 25(9,-4) = (225,-100).
Somando:
6\vec{u}+25\vec{v} = (48+225,\;42+(-100)) = (273,\;-58).
Agora divide-se por 7:
\vec{x} = \frac{1}{7}(273,-58) = \left(\frac{273}{7},\;\frac{-58}{7}\right).
Observando que \dfrac{273}{7}=39 (pois 7\cdot39=273), obtemos
\vec{x} = \left(39,\;-\frac{58}{7}\right).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil): substituir \vec{x}=(39,-58/7) na equação original retorna igualdade dos dois lados — isso confirma que não houve erro algébrico.

Resposta

\vec{x}=\left(39,\;-\dfrac{58}{7}\right)

Exercícios relacionados