Dados os vetores
e
, determinar o vetor
tal que,
-(3
+
)=2(-8
+3
)-9(
+
)
-(3
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede para determinar o vetor
que satisfaça a equação
Resumo do que é pedido:
- Determinar
(um vetor em ) que torna verdadeira a igualdade vetorial acima.
Informações relevantes fornecidas: -
. -
. - A igualdade entre vetores significa que as componentes correspondentes são iguais.
Passo 2
Relembrando operações vetoriais que vou usar (explicação didática):
- Multiplicação de um vetor por escalar: se
é escalar e então . - Soma e subtração de vetores:
. - Distribuição do escalar sobre soma:
. - Igualdade vetorial:
vale se e somente se as componentes e forem iguais, isto é, e .
Esses conceitos permitem manipular a equação como se fosse uma equação algébrica, tratandocomo incógnita vetorial.
Passo 3
Vamos expandir e simplificar ambos os lados usando distribuição e agrupamento de termos vetoriais.
Escrevendo o lado esquerdo:
Escrevendo o lado direito e distribuindo:
Agora simplificando os escalares:
Logo o lado direito é
Passo 4
Agora igualamos as duas expressões obtidas:
Vamos juntar termos semelhantes (colocar todos os termos contendo
de um lado, os outros do outro lado). Para isso, passo a passo:
subtrai-se de ambos os lados e adiciona-se
a ambos os lados; ou faça tudo de uma vez:
subtrai-se
Calculando:
Agrupando:
Ou seja,
Passo 5
Isolando
da equação anterior:
Portanto
Essa é a expressão vetorial da solução. Agora vamos calcular as componentes numéricas usando
e
.
Passo 6
Calculemos as multiplicações escalares e a soma de componentes:
Somando:
Agora divide-se por
:
Observando que
(pois
), obtemos
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil): substituir
na equação original retorna igualdade dos dois lados — isso confirma que não houve erro algébrico.