Dados os vetores
e
, determinar
e
tais que
. Neste caso dizemos que
é uma combinação linear dos vetores
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para encontrar escalares
e
tais que
seja combinação linear de
e
. Dados:
O que se pede: determinar
e
tais que
Passo 2
Entendendo o que significa escrever
como combinação linear de
e
. Isso quer dizer que existem números
e
(os coeficientes) tais que, compondo coordenada a coordenada,
Para cada coordenada obtemos uma equação: olhando para a primeira coordenada (componente
) e para a segunda (componente
), obtemos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas
e
.
Passo 3
Escrever explicitamente o sistema obtido ao igualar coordenadas:
pela primeira coordenada:
pela primeira coordenada:
pela segunda coordenada:
Ou seja, o sistema é
Antes de resolver: é útil saber se existe solução única. Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores (colunas) ou pelas coeficientes:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores
e
são linearmente independentes e o sistema tem solução única. Vou usar o método de eliminação (substituição) — é simples e direto para dois equações.]
Passo 4
Resolver o sistema por substituição. Da segunda equação isolo
:
Agora substituo essa expressão na primeira equação:
Simplifico o termo com
:
Distribuindo o sinal no primeiro parêntese:
Somando os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Agora volto para obter
. Use a expressão que tínhamos para
:
Calculo o numerador com cuidado em frações:
então
Dividindo por
:
Passo 6
Verificação rápida (substituir de volta para checar):
calcule :
calcule
E
:
Como ambas coordenadas conferem, a solução está correta. Força aí — você já consegue fazer isso numa prova!