Dados os vetores v_{1}=(-2,2), v_{2}=(8,3) e v=(1,9), determinar c_{1} e c_{2} tais que v=c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}. Neste caso dizemos que v é uma combinação linear dos vetores v_{1} \mathrm{e} v_{2}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para encontrar escalares c_{1} e c_{2} tais que v seja combinação linear de v_{1} e v_{2}. Dados:
v_{1}=(-2,2),\qquad v_{2}=(8,3),\qquad v=(1,9).
O que se pede: determinar c_{1} e c_{2} tais que
v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}.

Passo 2

Entendendo o que significa escrever v como combinação linear de v_{1} e v_{2}. Isso quer dizer que existem números c_{1} e c_{2} (os coeficientes) tais que, compondo coordenada a coordenada,
(1,9)=c_{1}(-2,2)+c_{2}(8,3).
Para cada coordenada obtemos uma equação: olhando para a primeira coordenada (componente x) e para a segunda (componente y), obtemos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas c_{1} e c_{2}.

Passo 3

Escrever explicitamente o sistema obtido ao igualar coordenadas:
pela primeira coordenada:
1=-2c_{1}+8c_{2},
pela segunda coordenada:
9=2c_{1}+3c_{2}.
Ou seja, o sistema é
\begin{cases} -2c_{1}+8c_{2}=1,\\[4pt] 2c_{1}+3c_{2}=9. \end{cases}
Antes de resolver: é útil saber se existe solução única. Uma forma rápida é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores (colunas) ou pelas coeficientes:
\det\begin{pmatrix}-2 & 8\\[2pt] 2 & 3\end{pmatrix}=(-2)\cdot 3-8\cdot 2=-6-16=-22\neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes e o sistema tem solução única. Vou usar o método de eliminação (substituição) — é simples e direto para dois equações.]

Passo 4

Resolver o sistema por substituição. Da segunda equação isolo c_{1}:
2c_{1}+3c_{2}=9 \quad\Rightarrow\quad 2c_{1}=9-3c_{2}\quad\Rightarrow\quad c_{1}=\frac{9-3c_{2}}{2}.
Agora substituo essa expressão na primeira equação:
-2\left(\frac{9-3c_{2}}{2}\right)+8c_{2}=1.
Simplifico o termo com -2:
-(9-3c_{2})+8c_{2}=1.
Distribuindo o sinal no primeiro parêntese:
-9+3c_{2}+8c_{2}=1.
Somando os termos com c_{2}:
-9+11c_{2}=1.
Isolando c_{2}:
11c_{2}=1+9=10\quad\Rightarrow\quad c_{2}=\frac{10}{11}.

Passo 5

Agora volto para obter c_{1}. Use a expressão que tínhamos para c_{1}:
c_{1}=\frac{9-3c_{2}}{2}=\frac{9-3\cdot\frac{10}{11}}{2}.
Calculo o numerador com cuidado em frações:
9=\frac{99}{11},\qquad 3\cdot\frac{10}{11}=\frac{30}{11},
então
9-3\cdot\frac{10}{11}=\frac{99}{11}-\frac{30}{11}=\frac{69}{11}.
Dividindo por 2:
c_{1}=\frac{\tfrac{69}{11}}{2}=\frac{69}{11}\cdot\frac{1}{2}=\frac{69}{22}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir de volta para checar):
calcule -2c_{1}+8c_{2}:
-2\cdot\frac{69}{22}+8\cdot\frac{10}{11}=-\frac{138}{22}+\frac{80}{11}=-\frac{69}{11}+\frac{80}{11}=\frac{11}{11}=1.
E 2c_{1}+3c_{2}:
2\cdot\frac{69}{22}+3\cdot\frac{10}{11}=\frac{138}{22}+\frac{30}{11}=\frac{69}{11}+\frac{30}{11}=\frac{99}{11}=9.
Como ambas coordenadas conferem, a solução está correta. Força aí — você já consegue fazer isso numa prova!

Resposta

c_{1}=\dfrac{69}{22}
c_{2}=\dfrac{10}{11}

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