Sendo \left\|\vec{u}\right\|=2,\left\|\vec{v}\right\|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcule: \left\|\vec{u} \times(\vec{v}-\vec{u})\right\|
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade única.
Isto significa que podemos “distribuir” \times sobre a soma (ou diferença) dos vetores.
Produto vetorial de um vetor por ele mesmo:
\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}.
Explicação simples: o produto vetorial mede uma área orientada do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{a}. Como os dois vetores são paralelos e apontam na mesma direção, essa área é zero, logo o resultado é o vetor nulo.
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Intuição: \left\|\vec{a}\times\vec{b}\right\| é a área do paralelogramo de lados \vec{a} e \vec{b}; a altura relativa a \vec{a} é \left\|\vec{b}\right\|\sin\theta, daí a fórmula.
Relação trigonométrica útil:
\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.
Assim, \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ).
Essas são as ferramentas que usaremos: distributividade, \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} e a fórmula do módulo do produto vetorial.
Passo 3
Aplicar a distributividade do produto vetorial em \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u}):
Agora usamos a fórmula do módulo do produto vetorial (Passo 2, item 3). Denotando por \theta o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, que vale 120^\circ, temos