Sendo
\left\|\vec{u}\right\|=2,\left\|\vec{v}\right\|=3 e 120^{\circ} o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, calcule:
\left\|\vec{u} \times(\vec{v}-\vec{u})\right\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma quantidade única.
  • Dados:
    • \left\|\vec{u}\right\|=2.
    • \left\|\vec{v}\right\|=3.
    • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 120^\circ.
  • Pedido:
    • Calcular \left\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u})\right\|.
Vou agora desenvolver a resolução passo a passo.

Passo 2

Lembretes e propriedades que vamos usar (explicados de forma didática):
  1. Propriedade distributiva do produto vetorial em relação à adição:
\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}.
Isto significa que podemos “distribuir” \times sobre a soma (ou diferença) dos vetores.
  1. Produto vetorial de um vetor por ele mesmo:
\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}.
Explicação simples: o produto vetorial mede uma área orientada do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{a}. Como os dois vetores são paralelos e apontam na mesma direção, essa área é zero, logo o resultado é o vetor nulo.
  1. Módulo do produto vetorial (fórmula essencial):
\left\|\vec{a}\times\vec{b}\right\|=\left\|\vec{a}\right\|\left\|\vec{b}\right\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Intuição: \left\|\vec{a}\times\vec{b}\right\| é a área do paralelogramo de lados \vec{a} e \vec{b}; a altura relativa a \vec{a} é \left\|\vec{b}\right\|\sin\theta, daí a fórmula.
  1. Relação trigonométrica útil:
\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha.
Assim, \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ).
Essas são as ferramentas que usaremos: distributividade, \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} e a fórmula do módulo do produto vetorial.

Passo 3

Aplicar a distributividade do produto vetorial em \vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u}):
\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u})=\vec{u}\times\vec{v}-\vec{u}\times\vec{u}.
Pelo item 2) acima, \vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}. Portanto:
\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u})=\vec{u}\times\vec{v}.

Passo 4

Logo o módulo pedido é simplesmente o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\left\|\vec{u}\times(\vec{v}-\vec{u})\right\|=\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|.
Agora usamos a fórmula do módulo do produto vetorial (Passo 2, item 3). Denotando por \theta o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, que vale 120^\circ, temos
\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|=\left\|\vec{u}\right\|\left\|\vec{v}\right\|\sin\theta.
Substituindo os valores dados:
\left\|\vec{u}\right\|=2,\quad \left\|\vec{v}\right\|=3,\quad \theta=120^\circ,
obtemos
\left\|\vec{u}\times\vec{v}\right\|=2\cdot 3\cdot \sin(120^\circ)=6\sin(120^\circ).

Passo 5

Calcular \sin(120^\circ). Usando \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,
\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
6\sin(120^\circ)=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.

Resposta

3\sqrt{3}

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