Dados os vetores
e
, determinar
e
tais que
. Neste caso dizemos que
é uma combinação linear dos vetores
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar números reais
e
tais que
Os vetores fornecidos são:
As incógnitas a determinar são
e
. Não se resolve nada ainda neste passo, apenas ficou claro o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Uma igualdade entre vetores significa igualdade componente a componente. Escrevendo isso para a igualdade
Estas duas equações formam um sistema linear com as incógnitas
.]
Passo 3
Vou resolver o sistema usando eliminação (um método simples e direto): primeiro simplifico a primeira equação para facilitar os cálculos. A primeira equação pode ser dividida por
:
Isolo
em função de
:
Assim obtive uma expressão que dá
assim que eu souber
.
Passo 4
Substituo a expressão de
na segunda equação do sistema para encontrar
. A segunda equação é
Substituindo
temos
Passo 5
Faço as operações dentro da igualdade passo a passo:
Isolando
:
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora calculo
usando
. Substituo
:
Transformo
para denominador
:
. Então
Simplificando por
:
Passo 7
Faço uma checagem rápida substituindo
e
na combinação linear para garantir que voltamos o vetor correto.
Cálculo da componente :
Cálculo da componente
Cálculo da componente
:
As duas componentes conferem com
, logo os valores encontrados estão corretos.