Dados os vetores v_{1}=(4,-8), v_{2}=(2,8) e v=(-8,6), determinar c_{1} e c_{2} tais que v=c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}. Neste caso dizemos que v é uma combinação linear dos vetores v_{1} \mathrm{e} v_{2}.
\begin{aligned} & c_{1} \\\ & c_{2} \square \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar números reais c_{1} e c_{2} tais que
v = c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2}.
Os vetores fornecidos são:
v_{1} = (4,-8),\qquad v_{2} = (2,8),\qquad v = (-8,6).
As incógnitas a determinar são c_{1} e c_{2}. Não se resolve nada ainda neste passo, apenas ficou claro o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Uma igualdade entre vetores significa igualdade componente a componente. Escrevendo isso para a igualdade \,v = c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2}\,\) obtemos duas equações escalares (uma para a componente \(x\) e outra para a componente \(y\)): \[\begin{cases} 4c_{1} + 2c_{2} = -8,\\[4pt] -8c_{1} + 8c_{2} = 6. \end{cases}
Estas duas equações formam um sistema linear com as incógnitas c_{1}\] e \(c_{2}.]

Passo 3

Vou resolver o sistema usando eliminação (um método simples e direto): primeiro simplifico a primeira equação para facilitar os cálculos. A primeira equação pode ser dividida por 2:
2c_{1} + c_{2} = -4.
Isolo c_{2} em função de c_{1}:
c_{2} = -4 - 2c_{1}.
Assim obtive uma expressão que dá c_{2} assim que eu souber c_{1}.

Passo 4

Substituo a expressão de c_{2} na segunda equação do sistema para encontrar c_{1}. A segunda equação é
-8c_{1} + 8c_{2} = 6.
Substituindo c_{2} = -4 - 2c_{1} temos
-8c_{1} + 8\bigl(-4 - 2c_{1}\bigr) = 6.

Passo 5

Faço as operações dentro da igualdade passo a passo:
-8c_{1} + 8(-4) + 8(-2c_{1}) = 6,
-8c_{1} - 32 - 16c_{1} = 6,
-24c_{1} - 32 = 6.
Isolando c_{1}:
-24c_{1} = 6 + 32 = 38,
c_{1} = -\dfrac{38}{24}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 2:
c_{1} = -\dfrac{19}{12}.

Passo 6

Agora calculo c_{2} usando c_{2} = -4 - 2c_{1}. Substituo c_{1} = -\dfrac{19}{12}:
c_{2} = -4 - 2\!\left(-\dfrac{19}{12}\right) = -4 + \dfrac{38}{12}.
Transformo -4 para denominador 12: -4 = -\dfrac{48}{12}. Então
c_{2} = -\dfrac{48}{12} + \dfrac{38}{12} = -\dfrac{10}{12}.
Simplificando por 2:
c_{2} = -\dfrac{5}{6}.

Passo 7

Faço uma checagem rápida substituindo c_{1} e c_{2} na combinação linear para garantir que voltamos o vetor correto.
Cálculo da componente x:
4c_{1} + 2c_{2} = 4\left(-\dfrac{19}{12}\right) + 2\left(-\dfrac{5}{6}\right) = -\dfrac{76}{12} - \dfrac{10}{6} = -\dfrac{76}{12} - \dfrac{20}{12} = -\dfrac{96}{12} = -8.
Cálculo da componente y:
-8c_{1} + 8c_{2} = -8\left(-\dfrac{19}{12}\right) + 8\left(-\dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{152}{12} - \dfrac{40}{6} = \dfrac{152}{12} - \dfrac{80}{12} = \dfrac{72}{12} = 6.
As duas componentes conferem com v = (-8,6), logo os valores encontrados estão corretos.

Resposta

c_{1} = -\dfrac{19}{12}
c_{2} = -\dfrac{5}{6}

Exercícios relacionados