Verifique o conjuntos de vetores e classifique-os como LI ou LD
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de três vetores em
:
O que se pede: verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
Passo 2
Definição e estratégia (passo-a-passo didático).
- Definição: os vetores são linearmente independentes se a única solução da combinação linear
for
. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então são linearmente dependentes.
- Método: escrever as equações componentes dessa igualdade e resolver o sistema linear para
. Vou resolver de forma direta (eliminação/substituição), mostrando cada passo.
Passo 3
Escrevendo as quatro equações (uma por componente):
Vou numerar essas equações como (1),(2),(3),(4) para facilitar a referência.]
Passo 4
Resolver passo a passo usando as equações mais simples primeiro.
- Da equação (2):
Expliquei: isolei
porque (2) tem poucas incógnitas.
- Da equação (4):
Expliquei: dividi por
e isolei
.
Passo 5
Substituir
e
nas equações (1) e (3) para verificar consistência.
- Substituindo em (1):
Resultado: a equação (1) fica
, ou seja, satisfeita para qualquer
.
- Substituindo em (3):
Resultado: a equação (3) também fica
.
Passo 6
Interpretação dos resultados.
- As equações (1) e (3) não impõem restrição adicional: qualquer valor de
que escolha, com e , satisfaz todo o sistema. - Logo existe uma família infinita de soluções não-triviais (por exemplo, tomando
obtém-se uma solução com coeficientes não todos nulos). - Conclusão lógica: os vetores são linearmente dependentes (LD).
Passo 7
Exibir uma relação linear explícita (útil na prova para mostrar dependência).
Tomando obtemos
,
,
. Então
Tomando
Isto mostra explicitamente a dependência linear:
.
Resposta
Linearmente dependentes (LD)