Verifique o conjuntos de vetores e classifique-os como LI ou LD
\beta_{3}=\{[3,1,4,0],[-1,0,2,5],[-7,-2,-6,5]\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de três vetores em \mathbb{R}^4:
\beta_{3}=\{\,[3,1,4,0],\;[-1,0,2,5],\;[-7,-2,-6,5]\,\}.
O que se pede: verificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo didático).
  • Definição: os vetores são linearmente independentes se a única solução da combinação linear
c_1[3,1,4,0]+c_2[-1,0,2,5]+c_3[-7,-2,-6,5]=[0,0,0,0]
for c_1=c_2=c_3=0. Se existir alguma solução com pelo menos um coeficiente diferente de zero, então são linearmente dependentes.
  • Método: escrever as equações componentes dessa igualdade e resolver o sistema linear para c_1,c_2,c_3. Vou resolver de forma direta (eliminação/substituição), mostrando cada passo.

Passo 3

Escrevendo as quatro equações (uma por componente):
\begin{cases} 3c_1 - c_2 - 7c_3 = 0,\\[4pt] c_1 \;+\; 0\cdot c_2 \;-\; 2c_3 = 0,\\[4pt] 4c_1 + 2c_2 - 6c_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot c_1 + 5c_2 + 5c_3 = 0. \end{cases}
Vou numerar essas equações como (1),(2),(3),(4) para facilitar a referência.]

Passo 4

Resolver passo a passo usando as equações mais simples primeiro.
  • Da equação (2):
c_1 - 2c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 2c_3.
Expliquei: isolei c_1 porque (2) tem poucas incógnitas.
  • Da equação (4):
5c_2 + 5c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 + c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 = -c_3.
Expliquei: dividi por 5 e isolei c_2.

Passo 5

Substituir c_1=2c_3 e c_2=-c_3 nas equações (1) e (3) para verificar consistência.
  • Substituindo em (1):
3c_1 - c_2 - 7c_3 = 3(2c_3) - (-c_3) - 7c_3 = 6c_3 + c_3 - 7c_3 = 0.
Resultado: a equação (1) fica 0=0, ou seja, satisfeita para qualquer c_3.
  • Substituindo em (3):
4c_1 + 2c_2 - 6c_3 = 4(2c_3) + 2(-c_3) - 6c_3 = 8c_3 - 2c_3 - 6c_3 = 0.
Resultado: a equação (3) também fica 0=0.

Passo 6

Interpretação dos resultados.
  • As equações (1) e (3) não impõem restrição adicional: qualquer valor de c_3 que escolha, com c_1=2c_3 e c_2=-c_3, satisfaz todo o sistema.
  • Logo existe uma família infinita de soluções não-triviais (por exemplo, tomando c_3=1 obtém-se uma solução com coeficientes não todos nulos).
  • Conclusão lógica: os vetores são linearmente dependentes (LD).

Passo 7

Exibir uma relação linear explícita (útil na prova para mostrar dependência).
Tomando c_3=1 obtemos c_1=2, c_2=-1, c_3=1. Então
2[3,1,4,0] - 1[-1,0,2,5] + 1[-7,-2,-6,5] = [0,0,0,0].
Isto mostra explicitamente a dependência linear: 2v_1 - v_2 + v_3 = 0.

Resposta

Linearmente dependentes (LD)

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