Considere os subconjuntos abaixo, represente devidamente as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, depois classifique se
é subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Representar “devidamente” as operações usuais (adição e multiplicação por escalar) restritas ao conjunto
. - Classificar se
é subespaço vetorial (sim ou não, e por quê).
Informações dadas:
- O conjunto é
. - Não há mais condições ou imagens. Ou seja, um vetor
pertence a exatamente quando sua coordenada satisfaz .
Passo 2
Primeiro escrevo um elemento genérico de
de forma prática (parametrização), porque assim fica fácil escrever as operações. Se
, então
. Para parametrizar basta escolher parâmetros para
e
. Seja
-parâmetro e
-parâmetro; mais diretamente: tomo
e
. Então um elemento genérico de
é
Posso também escrever isso como combinação linear dos parâmetros:
Isto mostra já uma representação conveniente: qualquer vetor de
é uma combinação linear de
e
.
(Explicação curta do porquê: escolhemos
e
porque a condição liga apenas
com
; assim
e
são livres e servem de parâmetros.)
Passo 3
Agora represente a adição entre dois vetores de
. Tome dois vetores quaisquer de
escritos com os parâmetros:
A adição nas coordenadas em
é componente a componente, então
Agrupando:
Observação importante: a soma tem a mesma forma parametrizada, com parâmetros
e
. Logo a soma permanece em
.
(Explicação didática: em prova, para checar fechamento sob adição, escreva dois vetores com as restrições dadas e some componente a componente; se a restrição na componente
se preserva, então a soma está em
. Aqui ficou óbvio pelo empacotamento.)
Passo 4
Represente a multiplicação por escalar. Tome
e o vetor genérico
Multiplicando por
componente a componente:
É conveniente escrever a primeira componente como
portanto
Novamente a forma estrutural
é preservada, com novos parâmetros
e
. Logo a multiplicação por escalar leva vetores de
para vetores de
.
(Explicação didática: em prova, para checar fechamento por escalar, basta mostrar que a relação que define
se mantém depois de multiplicar tudo por
.)
Passo 5
Verifico a existência do vetor zero e de inversos aditivos (passos simples mas necessários para a classificação):
- Vetor zero: tomando
e na parametrização obtemos . Então . - Inverso aditivo: para
o inverso . Verifico que a primeira componente de é
ou seja,
também satisfaz a condição da forma
(com parâmetros
). Logo o inverso está em
.
(Explicação didática: não esqueça de checar o zero; se faltar, não é subespaço. Aqui está.)
Passo 6
Com os passos anteriores já concluímos a verificação dos axiomas relevantes para subespaço:
-
não é vazio (contém ). -
é fechado sob adição (Passo 3). -
é fechado sob multiplicação por escalar (Passo 4).
Pelo critério usual (não vazio + fechamentos),
é subespaço vetorial de
.
Passo 7
Dou duas observações úteis para a prova (truques rápidos):
- A parametrização já mostra que
Como todo subespaço gerado por vetores (span) é subespaço, esta é uma via direta para concluir que
é subespaço. Além disso, disso segue que
se os dois vetores forem linearmente independentes (e aqui são).
- Outra via rápida: reescreva a condição como equação linear homogênea
Então
com
dada por
. Como núcleo de aplicação linear,
é subespaço.
(Esses dois atalhos são frequentemente mais rápidos em prova do que provar cada item diretamente.)
Resposta
Adiçã o em
: Se
e
em
, então
Multiplicação por escalar em
: Para
e
em
,
Classificação:
é subespaço vetorial de
. Além disso,
e
.