Considere os subconjuntos abaixo, represente devidamente as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, depois classifique se S é subespaço vetorial.
S=\{(x, y, z) / x=2 z-y\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Representar “devidamente” as operações usuais (adição e multiplicação por escalar) restritas ao conjunto S.
  • Classificar se S é subespaço vetorial (sim ou não, e por quê).
Informações dadas:
  • O conjunto é S=\{(x,y,z)\mid x=2z-y\}.
  • Não há mais condições ou imagens. Ou seja, um vetor (x,y,z) pertence a S exatamente quando sua coordenada x satisfaz \,x=2z-y.

Passo 2

Primeiro escrevo um elemento genérico de S de forma prática (parametrização), porque assim fica fácil escrever as operações. Se (x,y,z)\in S, então \,x=2z-y. Para parametrizar basta escolher parâmetros para y e z. Seja s,y-parâmetro e t,z-parâmetro; mais diretamente: tomo y=s e z=t. Então um elemento genérico de S é
( x,y,z ) = (\,2t - s,\; s,\; t\,).
Posso também escrever isso como combinação linear dos parâmetros:
(2t-s,s,t) = s(-1,1,0) + t(2,0,1).
Isto mostra já uma representação conveniente: qualquer vetor de S é uma combinação linear de (-1,1,0) e (2,0,1).
(Explicação curta do porquê: escolhemos s e t porque a condição liga apenas x com y,z; assim y e z são livres e servem de parâmetros.)

Passo 3

Agora represente a adição entre dois vetores de S. Tome dois vetores quaisquer de S escritos com os parâmetros:
\mathbf{u}=(2t_1-s_1,\; s_1,\; t_1),\qquad \mathbf{v}=(2t_2-s_2,\; s_2,\; t_2).
A adição nas coordenadas em \mathbb{R}^3 é componente a componente, então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(\, (2t_1-s_1)+(2t_2-s_2),\; s_1+s_2,\; t_1+t_2 \,).
Agrupando:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(\,2(t_1+t_2) - (s_1+s_2),\; s_1+s_2,\; t_1+t_2 \,).
Observação importante: a soma tem a mesma forma parametrizada, com parâmetros s'=s_1+s_2 e t'=t_1+t_2. Logo a soma permanece em S.
(Explicação didática: em prova, para checar fechamento sob adição, escreva dois vetores com as restrições dadas e some componente a componente; se a restrição na componente x se preserva, então a soma está em S. Aqui ficou óbvio pelo empacotamento.)

Passo 4

Represente a multiplicação por escalar. Tome \alpha\in\mathbb{R} e o vetor genérico
\mathbf{u}=(2t-s,\; s,\; t).
Multiplicando por \alpha componente a componente:
\alpha\mathbf{u}=(\alpha(2t-s),\; \alpha s,\; \alpha t).
É conveniente escrever a primeira componente como
\alpha(2t-s)=2(\alpha t) - (\alpha s),
portanto
\alpha\mathbf{u}=(\,2(\alpha t) - (\alpha s),\; \alpha s,\; \alpha t\,).
Novamente a forma estrutural \,x=2z-y é preservada, com novos parâmetros s'=\alpha s e t'=\alpha t. Logo a multiplicação por escalar leva vetores de S para vetores de S.
(Explicação didática: em prova, para checar fechamento por escalar, basta mostrar que a relação que define S se mantém depois de multiplicar tudo por \alpha.)

Passo 5

Verifico a existência do vetor zero e de inversos aditivos (passos simples mas necessários para a classificação):
  • Vetor zero: tomando s=0 e t=0 na parametrização obtemos (0,0,0). Então (0,0,0)\in S.
  • Inverso aditivo: para \mathbf{u}=(2t-s,s,t) o inverso -\mathbf{u}=(-2t+s,-s,-t). Verifico que a primeira componente de -\mathbf{u} é
-2t+s = 2(-t) - (-s),
ou seja, -\mathbf{u} também satisfaz a condição da forma x=2z-y (com parâmetros -s,-t). Logo o inverso está em S.
(Explicação didática: não esqueça de checar o zero; se faltar, não é subespaço. Aqui está.)

Passo 6

Com os passos anteriores já concluímos a verificação dos axiomas relevantes para subespaço:
  • S não é vazio (contém (0,0,0)).
  • S é fechado sob adição (Passo 3).
  • S é fechado sob multiplicação por escalar (Passo 4).
Pelo critério usual (não vazio + fechamentos), S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Dou duas observações úteis para a prova (truques rápidos):
  1. A parametrização já mostra que
S=\{ s(-1,1,0) + t(2,0,1) \mid s,t\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(-1,1,0),(2,0,1)\}.
Como todo subespaço gerado por vetores (span) é subespaço, esta é uma via direta para concluir que S é subespaço. Além disso, disso segue que \dim(S)=2 se os dois vetores forem linearmente independentes (e aqui são).
  1. Outra via rápida: reescreva a condição como equação linear homogênea
x+y-2z=0.
Então S=\ker f com f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=x+y-2z. Como núcleo de aplicação linear, S é subespaço.
(Esses dois atalhos são frequentemente mais rápidos em prova do que provar cada item diretamente.)

Resposta

Adiçã o em S: Se \mathbf{u}=(2t_1-s_1,\; s_1,\; t_1) e \mathbf{v}=(2t_2-s_2,\; s_2,\; t_2) em S, então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(\,2(t_1+t_2) - (s_1+s_2),\; s_1+s_2,\; t_1+t_2\,).
Multiplicação por escalar em S: Para \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(2t-s,\; s,\; t) em S,
\alpha\mathbf{u}=(\,2(\alpha t) - (\alpha s),\; \alpha s,\; \alpha t\,).
Classificação: S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Além disso,
S=\operatorname{span}\{(-1,1,0),(2,0,1)\}
e \dim(S)=2.

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