Dados os vetores \vec{a}=(1,2,-2) e \vec{b}=(3,0,4), determine:
a) O produto escalar \vec{a} \cdot \vec{b}.
b) O cosseno do ângulo \theta entre os vetores \vec{a} e \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,2,-2) e \vec{b}=(3,0,4). Queremos calcular (a) o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} e (b) o cosseno do ângulo \theta entre eles. Usaremos as fórmulas \vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_i a_i b_i e \cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.

Passo 2

Para o produto escalar,
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot0+(-2)\cdot4=3+0-8=-5.

Passo 3

Para as normas:
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3,
\|\vec{b}\|=\sqrt{3^2+0^2+4^2}=\sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Aplicando na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}=\frac{-5}{3\cdot5}=-\frac{1}{3}.

Resposta

a) -5
b) -\tfrac{1}{3}

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