Dados os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,1,-2) no \mathbb{R}^{3}, calcule:
a) O vetor \vec{w}=3 \vec{u}-2 \vec{v}.
b) A norma (ou módulo) do vetor \vec{w}, ou seja, \|\vec{w}\|.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3, \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,1,-2), e pede (a) a combinação linear \vec{w}=3\vec{u}-2\vec{v} e (b) a norma de \vec{w}. Vamos usar: multiplicação escalar de vetores, subtração de vetores e definição de norma \|\vec{x}\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.

Passo 2

Primeiro calculamos 3\vec{u} e 2\vec{v}:
3\vec{u} = (3\cdot2,\;3\cdot(-1),\;3\cdot3) = (6,-3,9)
2\vec{v} = (2\cdot1,\;2\cdot1,\;2\cdot(-2)) = (2,2,-4)
Agora subtraímos para obter \vec{w}:
\vec{w} = (6,-3,9) - (2,2,-4) = (6-2,\;-3-2,\;9-(-4)) = (4,-5,13).

Passo 3

Para a norma, aplicamos
\|\vec{w}\| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 13^2} = \sqrt{16 + 25 + 169} = \sqrt{210}.

Resposta

\vec{w} = (4,-5,13). \|\vec{w}\| = \sqrt{210}.

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