Sejam os vetores \vec{p}=(1,0,-1) e \vec{q}=(2,2,1).
a) Calcule o produto vetorial \vec{p} \times \vec{q}.
b) Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores \vec{p} e \vec{q}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{p}=(1,0,-1) e \vec{q}=(2,2,1) e pede:
  1. O produto vetorial \vec{p}\times\vec{q}.
  2. A área do paralelogramo formado por \vec{p} e \vec{q}.
    Conteúdo usado: definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3 e cálculo de norma de vetor.

Passo 2

Para calcular \vec{p}\times\vec{q} usamos a fórmula de componentes:
\vec{p}\times\vec{q} =(\,p_2q_3 - p_3q_2,\;p_3q_1 - p_1q_3,\;p_1q_2 - p_2q_1\,).
Aqui p_1=1, p_2=0, p_3=-1 e q_1=2, q_2=2, q_3=1. Então:
p_2q_3 - p_3q_2 = 0\cdot1 - (-1)\cdot2 = 2,
p_3q_1 - p_1q_3 = (-1)\cdot2 - 1\cdot1 = -3,
p_1q_2 - p_2q_1 = 1\cdot2 - 0\cdot2 = 2.
Logo,
\vec{p}\times\vec{q} = (2,\,-3,\,2).

Passo 3

A área do paralelogramo é igual à norma de \vec{p}\times\vec{q}:
\|\vec{p}\times\vec{q}\| =\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} =\sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17}.

Resposta

a) \vec{p}\times\vec{q} = (2,\,-3,\,2)
b) Área = \sqrt{17}

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