Encontre as equações paramétricas e a equação simétrica da reta r que passa pelo ponto A(3,5,-1) e tem a direção do vetor \vec{d}=(2,-1,4).

Passo 1

O enunciado pede para achar as equações paramétricas e a equação simétrica da reta r que passa por A(3,5,-1) e tem direção dada pelo vetor \vec{d}=(2,-1,4).
Conteúdo: geometria analítica no espaço—representação vetorial, paramétrica e simétrica de reta.

Passo 2

Uma reta no espaço pode ser escrita em forma vetorial como
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\,\vec{d}.
Aqui \vec{A}=(3,5,-1) e \vec{d}=(2,-1,4), então
\vec{r}(t)=(3,5,-1)+t\,(2,-1,4).
Separando em componentes, obtemos as equações paramétricas:
x=3+2t,\quad y=5 - t,\quad z=-1+4t.

Passo 3

Para chegar à equação simétrica, basta isolar t em cada uma:
t=\frac{x-3}{2},\quad t=\frac{y-5}{-1},\quad t=\frac{z+1}{4}.
Como todas valem t, a forma simétrica é
\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+1}{4}.

Resposta

Equações paramétricas:
x=3+2t,\quad y=5 - t,\quad z=-1+4t.
Equação simétrica:
\frac{x-3}{2}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z+1}{4}.

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