1. Calcular n para que seja de 30^{\circ} o ângulo entre os vetores \vec{u}=(3,-1, n) e \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular n tal que o ângulo entre os vetores \vec{u}=(3,-1,n) e \vec{k} seja 30^\circ. Informações relevantes extraídas do enunciado: \vec{u}=(3,-1,n), o ângulo desejado é 30^\circ e \vec{k} é o vetor canônico do eixo z, ou seja \vec{k}=(0,0,1). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre dois vetores. Para dois vetores \vec{a} e \vec{b} vale
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar e \|\vec{a}\| é a norma (comprimento) do vetor \vec{a}. Explicando cada parte: o produto escalar de \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
e a norma é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
Essas fórmulas são básicas e podem ser usadas na prova sem calculadora se fizermos contas diretas.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores \vec{u}=(3,-1,n) e \vec{k}=(0,0,1): o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{k}=3\cdot0+(-1)\cdot0+n\cdot1=n.
As normas são
\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+n^2}=\sqrt{9+1+n^2}=\sqrt{10+n^2}
e
\|\vec{k}\|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1.

Passo 4

Agora use a fórmula do cosseno com \theta=30^\circ. Sabemos que \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\frac{\vec{u}\cdot\vec{k}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{k}\|}=\frac{n}{\sqrt{10+n^2}\cdot1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Ou seja, obtemos a equação
\frac{n}{\sqrt{10+n^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Resolvendo a equação: primeiro isolamos e elevamos ao quadrado (atenção: ao elevar ao quadrado podemos introduzir raízes extranhas, então teremos que checar o sinal depois):
n^2=\frac{3}{4}\,(10+n^2).
Desenvolvendo:
n^2=\frac{30}{4}+\frac{3}{4}n^2.
Subtraindo \frac{3}{4}n^2 dos dois lados:
n^2-\frac{3}{4}n^2=\frac{1}{4}n^2=\frac{30}{4}.
Multiplicando por 4:
n^2=30.
Tomando raiz quadrada:
n=\pm\sqrt{30}.

Passo 6

Agora verificamos quais raízes satisfazem a equação original \dfrac{n}{\sqrt{10+n^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. O lado direito é positivo ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}>0), então precisamos de n>0. Portanto a solução negativa n=-\sqrt{30} é extrana à equação original (ela daria cosseno negativo, correspondente a ângulo obtuso). Logo a única solução válida é
n=\sqrt{30}.

Resposta

n=\sqrt{30}

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