- Calcular
para que seja de
o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
tal que o ângulo entre os vetores
e
seja
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
, o ângulo desejado é
e
é o vetor canônico do eixo
, ou seja
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre dois vetores. Para dois vetores
e
vale
onde
é o ângulo entre
e
,
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor
. Explicando cada parte: o produto escalar de
e
é
e a norma é
Essas fórmulas são básicas e podem ser usadas na prova sem calculadora se fizermos contas diretas.
Passo 3
Aplicando isso aos vetores
e
: o produto escalar é
As normas são
e
Passo 4
Agora use a fórmula do cosseno com
. Sabemos que
. Portanto
Ou seja, obtemos a equação
Passo 5
Resolvendo a equação: primeiro isolamos e elevamos ao quadrado (atenção: ao elevar ao quadrado podemos introduzir raízes extranhas, então teremos que checar o sinal depois):
Desenvolvendo:
Subtraindo
dos dois lados:
Multiplicando por 4:
Tomando raiz quadrada:
Passo 6
Agora verificamos quais raízes satisfazem a equação original
. O lado direito é positivo (
), então precisamos de
. Portanto a solução negativa
é extrana à equação original (ela daria cosseno negativo, correspondente a ângulo obtuso). Logo a única solução válida é