Dados os vetores \vec{u}=5 \vec{i}-8 \vec{j}, \vec{v}=-\vec{i}-2 \vec{j} e \vec{w}=3 \vec{i}-3 \vec{j} em \mathbb{R}^{2}, determinar
\vec{u}+2 \vec{v}+9 \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^2 e pede para calcular uma combinação linear deles. Vou listar exatamente o que foi informado e o que se pede.
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=5\vec{i}-8\vec{j}.
    • \vec{v}=-\vec{i}-2\vec{j}.
    • \vec{w}=3\vec{i}-3\vec{j}.
  • O que se pede:
    • Determinar \vec{u}+2\vec{v}+9\vec{w}.

Passo 2

Relembrando conceitos básicos (breve aula):
  • Um vetor em \mathbb{R}^2 pode ser visto por componentes: se \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}, então sua componente x é a_x e sua componente y é a_y.
  • Multiplicação por escalar: multiplicar um vetor por um número k significa multiplicar cada componente por k. Ou seja, k\vec{a}=(k a_x)\vec{i}+(k a_y)\vec{j}.
  • Soma de vetores: somam-se as componentes correspondentes. Se \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y), então \vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,\;a_y+b_y), ou em notação de base \vec{i},\vec{j}: (a_x+b_x)\vec{i}+(a_y+b_y)\vec{j}.
Agora vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular 2\vec{v} usando multiplicação por escalar.
\vec{v}=-\vec{i}-2\vec{j}\quad\Rightarrow\quad 2\vec{v}=2(-\vec{i}-2\vec{j})=(-2)\vec{i}+(-4)\vec{j}=-2\vec{i}-4\vec{j}.

Passo 4

Calcular 9\vec{w} usando multiplicação por escalar.
\vec{w}=3\vec{i}-3\vec{j}\quad\Rightarrow\quad 9\vec{w}=9(3\vec{i}-3\vec{j})=27\vec{i}-27\vec{j}.

Passo 5

Somar os vetores \vec{u}, 2\vec{v} e 9\vec{w} componente a componente.
Primeiro escrevo cada vetor em forma de componentes:
\vec{u}=5\vec{i}-8\vec{j}\quad\text{(componentes }(5,-8)\text{)},
2\vec{v}=-2\vec{i}-4\vec{j}\quad\text{(componentes }(-2,-4)\text{)},
9\vec{w}=27\vec{i}-27\vec{j}\quad\text{(componentes }(27,-27)\text{)}.
Agora somo as componentes x e y separadamente:
\text{componente }x: \;5 + (-2) + 27 = 5-2+27 = 30,
\text{componente }y: \;-8 + (-4) + (-27) = -8-4-27 = -39.

Passo 6

Escrever o resultado final na forma vetorial.
\vec{u}+2\vec{v}+9\vec{w}=30\vec{i}-39\vec{j}.

Resposta

\;30\vec{i}-39\vec{j}

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