Dados os vetores vec{u}=(-1,-9) e vec{v}=(-1,8), determinar o vetor vec{x} tal que,
-4(\vec{v}-\vec{u})+3(\vec{u}-\vec{x})=-6(\vec{u}-\vec{v})-3(\vec{v}-\vec{x})

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=(-1,-9).
    • \vec{v}=(-1,8).
  • Equação vetorial dada: -4(\vec{v}-\vec{u})+3(\vec{u}-\vec{x})=-6(\vec{u}-\vec{v})-3(\vec{v}-\vec{x}).
O que se pede:
  • Determinar o vetor \vec{x} que satisfaz essa equação.

Passo 2

Relembrando (rápido e direto) as regras de operações com vetores que vou usar:
  • Multiplicação por escalar: se a é número e \vec{w} é vetor, então a\vec{w} significa multiplicar cada componente de \vec{w} por a.
  • Adição e subtração componente a componente: (w_1,w_2)+(z_1,z_2)=(w_1+z_1,w_2+z_2).
  • Distributividade do escalar sobre a soma: a(\vec{p}+\vec{q})=a\vec{p}+a\vec{q}.
  • Para resolver uma equação vetorial, posso manipular termos exatamente como numa equação escalar (somar, subtrair vetores, isolar \vec{x}).
Exemplo curto para fixar: se \vec{a}=(2,3) então 3\vec{a}=(6,9) e \vec{a}-\vec{b}=(2-b_1,3-b_2) se \vec{b}=(b_1,b_2).

Passo 3

Expandir (distribuir) os escalares nos parênteses de ambos os lados da equação original. Começando do lado esquerdo:
-4(\vec{v}-\vec{u})+3(\vec{u}-\vec{x})
Aplicando distributividade:
-4\vec{v}+4\vec{u}+3\vec{u}-3\vec{x}.
Reagrupando os termos semelhantes ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{x}):
-4\vec{v}+(4\vec{u}+3\vec{u})-3\vec{x} = -4\vec{v}+7\vec{u}-3\vec{x}.
Agora o lado direito:
-6(\vec{u}-\vec{v})-3(\vec{v}-\vec{x})
Aplicando distributividade:
-6\vec{u}+6\vec{v}-3\vec{v}+3\vec{x}.
Reagrupando:
(-6\vec{u})+(6\vec{v}-3\vec{v})+3\vec{x} = -6\vec{u}+3\vec{v}+3\vec{x}.
Portanto a equação fica, equivalente:
-4\vec{v}+7\vec{u}-3\vec{x} = -6\vec{u}+3\vec{v}+3\vec{x}.

Passo 4

Agora isolar \vec{x}. Vou juntar todos os termos com \vec{x} de um lado e os demais do outro. Subtraio 3\vec{x} do lado direito e também adiciono 6\vec{u} e adiciono 4\vec{v} em ambos os lados (ou simplesmente passo termos para um lado com sinal trocado). Faço a operação de maneira direta:
-4\vec{v}+7\vec{u}-3\vec{x} -(-6\vec{u}+3\vec{v}+3\vec{x}) = \vec{0}.
Calculando a subtração entre parênteses:
-4\vec{v}+7\vec{u}-3\vec{x} +6\vec{u}-3\vec{v}-3\vec{x} = \vec{0}.
Agrupando os coeficientes de \vec{u}, \vec{v} e \vec{x}:
(7\vec{u}+6\vec{u}) +(-4\vec{v}-3\vec{v}) +(-3\vec{x}-3\vec{x}) = \vec{0}.
Ou seja,
13\vec{u} -7\vec{v} -6\vec{x} = \vec{0}.
Isolando \vec{x}:
-6\vec{x} = -13\vec{u} +7\vec{v}
ou multiplicando por -1:
6\vec{x} = 13\vec{u} -7\vec{v}.
Finalmente,
\vec{x} = \frac{13}{6}\vec{u} - \frac{7}{6}\vec{v}.
Isto é uma expressão vetorial que nos diz como montar \vec{x} a partir de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 5

Agora substituo os vetores numéricos \vec{u}=(-1,-9) e \vec{v}=(-1,8) na expressão encontrada. Vou calcular componente a componente.
Componente x-horizontal (primeira componente):
x_1 = \frac{13}{6}\cdot(-1) - \frac{7}{6}\cdot(-1).
Calculo passo a passo:
\frac{13}{6}\cdot(-1) = -\frac{13}{6},\qquad \frac{7}{6}\cdot(-1) = -\frac{7}{6}.
Portanto
x_1 = -\frac{13}{6} -\left(-\frac{7}{6}\right) = -\frac{13}{6} + \frac{7}{6} = -\frac{6}{6} = -1.
Componente y-vertical (segunda componente):
x_2 = \frac{13}{6}\cdot(-9) - \frac{7}{6}\cdot 8.
Calculo cada termo:
\frac{13}{6}\cdot(-9) = -\frac{117}{6},\qquad \frac{7}{6}\cdot 8 = \frac{56}{6}.
Somando com o sinal apropriado:
x_2 = -\frac{117}{6} - \frac{56}{6} = -\frac{117+56}{6} = -\frac{173}{6}.
Não há simplificação inteira comum entre 173 e 6, então mantemos a fração.

Passo 6

Juntando as componentes obtidas:
\vec{x} = \left(-1,\; -\frac{173}{6}\right).
Se quiser uma versão decimal rápida (apenas referência): -\tfrac{173}{6}\approx -28{,}833\ldots — mas prefira a forma fracionária exata para provas.

Passo 7

Pequena palavra de incentivo: mandou bem em trazer a questão — é exatamente esse tipo de manipulação algébrica com vetores que costuma cair na prova. Mantém a calma e treina mais uns exercícios parecidos trocando sinais e coeficientes; isso fica automático rapidinho.

Resposta

\vec{x}=\left(-1,\;-\dfrac{173}{6}\right)

Exercícios relacionados