Dados os vetores
e
, determinar o vetor
tal que,
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei tudo do enunciado):
- Vetores fornecidos:
-
. -
.
-
- Equação vetorial dada:
O que se pede:
- Determinar o vetor
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Relembrando (rápido e direto) as regras de operações com vetores que vou usar:
- Multiplicação por escalar: se
é número e é vetor, então significa multiplicar cada componente de por . - Adição e subtração componente a componente:
. - Distributividade do escalar sobre a soma:
. - Para resolver uma equação vetorial, posso manipular termos exatamente como numa equação escalar (somar, subtrair vetores, isolar
).
Exemplo curto para fixar: se
então
e
se
.
Passo 3
Expandir (distribuir) os escalares nos parênteses de ambos os lados da equação original. Começando do lado esquerdo:
Aplicando distributividade:
Reagrupando os termos semelhantes (
,
,
):
Agora o lado direito:
Aplicando distributividade:
Reagrupando:
Portanto a equação fica, equivalente:
Passo 4
Agora isolar
. Vou juntar todos os termos com
de um lado e os demais do outro. Subtraio
do lado direito e também adiciono
e adiciono
em ambos os lados (ou simplesmente passo termos para um lado com sinal trocado). Faço a operação de maneira direta:
Calculando a subtração entre parênteses:
Agrupando os coeficientes de
,
e
:
Ou seja,
Isolando
:
ou multiplicando por
:
Finalmente,
Isto é uma expressão vetorial que nos diz como montar
a partir de
e
.
Passo 5
Agora substituo os vetores numéricos
e
na expressão encontrada. Vou calcular componente a componente.
Componente
-horizontal (primeira componente):
Calculo passo a passo:
Portanto
Componente
-vertical (segunda componente):
Calculo cada termo:
Somando com o sinal apropriado:
Não há simplificação inteira comum entre
e
, então mantemos a fração.
Passo 6
Juntando as componentes obtidas:
Se quiser uma versão decimal rápida (apenas referência):
— mas prefira a forma fracionária exata para provas.
Passo 7
Pequena palavra de incentivo: mandou bem em trazer a questão — é exatamente esse tipo de manipulação algébrica com vetores que costuma cair na prova. Mantém a calma e treina mais uns exercícios parecidos trocando sinais e coeficientes; isso fica automático rapidinho.