Dados os vetores vec{u}=(-1,-9) e vec{v}=(-1,8), determinar o vetor vec{x} tal que,
-7(-2 \vec{u}-\vec{x})=5(\vec{v}-2 \vec{x})+3(\vec{u}+\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(-1,-9) e \vec{v}=(-1,8) e pede para determinar o vetor \vec{x} que satisfaz a igualdade
-7(-2\vec{u}-\vec{x})=5(\vec{v}-2\vec{x})+3(\vec{u}+\vec{v}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \vec{u} = (-1,-9).
  • \vec{v} = (-1,8).
  • A incógnita é \vec{x} (um vetor em \mathbb{R}^2).
  • A igualdade envolve operações vetoriais e multiplicação por escalares (números): soma de vetores e produto escalar de número por vetor.

Passo 2

Vamos aplicar propriedades algébricas de vetores (distributividade do produto por escalar e soma de vetores) para simplificar ambos os lados da equação sem ainda usar as componentes de \vec{u} e \vec{v}.
A propriedade usada: para qualquer escalar a e vetores \vec{p},\vec{q},
a(\vec{p}+\vec{q})=a\vec{p}+a\vec{q}, \qquad a(-\vec{q})=-(a\vec{q}).
Aplicando isso ao lado esquerdo:
-7(-2\vec{u}-\vec{x}) = -7(-2\vec{u}) + -7(-\vec{x}) = 14\vec{u} + 7\vec{x}.

Passo 3

Agora simplifico o lado direito usando distributividade:
5(\vec{v}-2\vec{x})+3(\vec{u}+\vec{v}) = 5\vec{v}-10\vec{x} + 3\vec{u}+3\vec{v} = 3\vec{u} + 8\vec{v} -10\vec{x}.
Portanto a equação vetorial fica
14\vec{u} + 7\vec{x} = 3\vec{u} + 8\vec{v} - 10\vec{x}.

Passo 4

Agrupo os termos com \vec{x} de um lado e os termos sem \vec{x} do outro:
7\vec{x} + 10\vec{x} = 3\vec{u} + 8\vec{v} - 14\vec{u}.
Isso dá
17\vec{x} = -11\vec{u} + 8\vec{v}.
Aqui usei que somar vetores e multiplicar por escalar é igual componente a componente, e que podemos somar/ subtrair vetores normalmente como se fossem “quantidades” algébricas.

Passo 5

Isolo \vec{x} dividindo ambos os lados pelo escalar 17. A divisão por escalar é válida porque 17\neq 0:
\vec{x} = \frac{1}{17}\bigl(-11\vec{u} + 8\vec{v}\bigr).
Isso já é uma forma vetorial da solução; agora calculamos componentes substituindo \vec{u} e \vec{v}.

Passo 6

Calculo -11\vec{u} e 8\vec{v} componente a componente. Lembrando que multiplicar vetor por escalar é multiplicar cada componente.
Para \vec{u}=(-1,-9):
-11\vec{u} = -11(-1,-9) = (11,99).
Para \vec{v}=(-1,8):
8\vec{v} = 8(-1,8) = (-8,64).
Agora somo esses resultados:
-11\vec{u} + 8\vec{v} = (11,99) + (-8,64) = (11-8,\;99+64) = (3,163).

Passo 7

Divido esse vetor por 17:
\vec{x} = \frac{1}{17}(3,163) = \left(\frac{3}{17},\frac{163}{17}\right).

Passo 8

Cheque rápido (opcional mas reconfortante): substituir \vec{x}=\left(\frac{3}{17},\frac{163}{17}\right) nas expressões originais dá igualdade entre os dois lados (computação elemento a elemento confirma que ambos os lados resultam em \left(-\frac{217}{17},-\frac{1001}{17}\right)), então a solução está consistente.

Resposta

\vec{x}=\left(\dfrac{3}{17},\dfrac{163}{17}\right)

Exercícios relacionados