Dados os vetores vec{A}=2 \hat{i}^{ᄂ} \hat{j}+3 \hat{k} ; \vec{B}=4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k} ; \vec{C}=3 \hat{i}^{\wedge} \hat{j}+m \hat{k}, calcular:
o produto vetorial entre \vec{A} e \vec{B}

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial entre \vec{A} e \vec{B}. O conteúdo aqui é produto vetorial em \mathbb{R}^3, que podemos calcular usando o determinante de uma matriz 3\times3 cujas duas últimas linhas são as componentes de \vec{A} e \vec{B}.

Passo 2

Escrevemos as componentes de cada vetor. Interpretando
\vec{A}=2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}\quad\Longrightarrow\quad \vec{A}=(2,1,3),
\vec{B}=4\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}\quad\Longrightarrow\quad \vec{B}=(4,5,1).

Passo 3

Montamos o determinante para \vec{A}\times\vec{B}:
\vec{A}\times\vec{B} =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\\\ 2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 5 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculamos cada componente pelo método dos cofatores:
Componente \hat{i}:
(1\cdot1 - 3\cdot5)=1-15=-14.
Componente \hat{j} (atentar sinal “–”):
-(2\cdot1 - 3\cdot4)=-(2-12)=-(-10)=10.
Componente \hat{k}:
2\cdot5 - 1\cdot4=10-4=6.

Passo 5

Juntando as componentes, obtemos
\vec{A}\times\vec{B}=-14\,\hat{i}+10\,\hat{j}+6\,\hat{k}.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B}=-14\hat{i}+10\hat{j}+6\hat{k}.

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