Um objeto é arremessado horizontalmente em uma mesa, e ao chegar na borda cai apenas sobre a ação da força peso. Supondo que a distância horizontal percorrida durante o movimento parabólico é de \Delta x=(39,7 \pm 0,1) c m e a altura de queda é \Delta y=(57,0 \pm 0,2) c m. Considere que a aceleração da gravidade é g=(10,59 \pm 0,05) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.
Determine a velocidade de lançamento (inicial) no movimento parabólico, com incerteza:
v_{0 x}=(\square \pm \square) \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado descreve o lançamento horizontal de um objeto de uma mesa, sem resistência do ar. Precisamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado na vertical para achar o tempo de queda e, em seguida, a equação do movimento uniforme na horizontal para determinar a velocidade inicial v_{0x}. Também vamos propagar as incertezas em \Delta x, \Delta y e g.

Passo 2

Primeiro, convertemos todas as grandezas para o SI: \Delta x = (39{,}7\pm0{,}1)\,\text{cm} = (0{,}397\pm0{,}001)\,\text{m} \Delta y = (57{,}0\pm0{,}2)\,\text{cm} = (0{,}570\pm0{,}002)\,\text{m} g = (10{,}59\pm0{,}05)\,\mathrm{m/s^2}

Passo 3

Da queda livre vertical, com velocidade inicial zero, o tempo de queda t satisfaz
\Delta y = \tfrac12\,g\,t^2
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t = \sqrt{\frac{2\,\Delta y}{g}}.

Passo 4

Na horizontal temos movimento uniforme, então
v_{0x} = \frac{\Delta x}{t} = \Delta x \;\sqrt{\frac{g}{2\,\Delta y}}.

Passo 5

Substituindo os valores nominais,
v_{0x} = 0{,}397\;\sqrt{\frac{10{,}59}{2\cdot0{,}570}} \approx 1{,}210\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

Para propagar incertezas usamos a forma logarítmica
\ln v_{0x} = \ln\Delta x + \tfrac12\ln g - \tfrac12\ln(2\,\Delta y),
de onde a variância relativa é
\Bigl(\frac{\sigma_{v}}{v_{0x}}\Bigr)^2 = \Bigl(\frac{\sigma_{\Delta x}}{\Delta x}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\,\frac{\sigma_{g}}{g}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac12\,\frac{\sigma_{\Delta y}}{\Delta y}\Bigr)^2.
Calculando numericamente: \sigma_{\Delta x}/\Delta x = 0{,}001/0{,}397\approx0{,}00252 \sigma_{g}/g = 0{,}05/10{,}59\approx0{,}00472 \sigma_{\Delta y}/\Delta y = 0{,}002/0{,}570\approx0{,}00351
\Bigl(\frac{\sigma_{v}}{v_{0x}}\Bigr)^2 \approx (0{,}00252)^2 + (0{,}5\cdot0{,}00472)^2 + (0{,}5\cdot0{,}00351)^2 \approx 1{,}50\times10^{-5},
\frac{\sigma_{v}}{v_{0x}}\approx0{,}00387 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{v}\approx1{,}210\times0{,}00387\approx0{,}0047\;\mathrm{m/s}.

Resposta

v_{0x} = (1{,}210 \pm 0{,}005)\,\mathrm{m/s}

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