Dados os vetores \vec{A}=3 \hat{e}_{1}-2 \hat{e}_{2}+\hat{e}_{3}, \vec{B}=2 \hat{e}_{1}-4 \hat{e}_{2}-3 \hat{e}_{3} e \vec{C}=-\hat{c}_{1}+2 \hat{c}_{2}+2 \hat{e}_{3}. Calcule as magnitudes or módulos dos vetors
(b) \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede o cálculo de \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}. As informações fornecidas são:
\vec{A}=3\hat{e}_{1}-2\hat{e}_{2}+\hat{e}_{3},
\vec{B}=2\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}-3\hat{e}_{3},
\vec{C}=-\hat{c}_{1}+2\hat{c}_{2}+2\hat{e}_{3}.
Observação importante: no enunciado as direções de \vec{C} aparecem como \hat{c}_{1} e \hat{c}_{2} enquanto as de \vec{A} e \vec{B} são \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}. Para somar vetores componente a componente precisamos que todos estejam referidos à mesma base. Vou assumir que \hat{c}_{1}=\hat{e}_{1} e \hat{c}_{2}=\hat{e}_{2} (provável erro de digitação). Se essas direções fossem diferentes não daria para somar sem mais informação.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e prática): para somar vetores que estão escritos na mesma base ortonormal, somamos suas componentes correspondentes. Se
\vec{U}=(U_{1},U_{2},U_{3}) e \vec{V}=(V_{1},V_{2},V_{3}),
então
\vec{U}+\vec{V}=(U_{1}+V_{1},\,U_{2}+V_{2},\,U_{3}+V_{3}).
Cada número aqui é a componente ao longo de \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}. É como somar três pares de números separados: x com x, y com y, z com z.

Passo 3

Extraio as componentes de cada vetor (assumindo \hat{c}_i=\hat{e}_i):
\vec{A}=(3,\,-2,\,1),
\vec{B}=(2,\,-4,\,-3),
\vec{C}=(-1,\,2,\,2).
Expliquei cada entrada: por exemplo, em \vec{A} a componente em \hat{e}_{1} é 3, em \hat{e}_{2} é -2 e em \hat{e}_{3} é 1.

Passo 4

Agora somo componente a componente:
  • Componente em \hat{e}_{1}: 3 + 2 + (-1).
3+2-1 = 4.
  • Componente em \hat{e}_{2}: -2 + (-4) + 2.
-2-4+2 = -4.
  • Componente em \hat{e}_{3}: 1 + (-3) + 2.
1-3+2 = 0.

Passo 5

Reescrevo o resultado na forma vetorial com as bases:
\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=4\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}+0\hat{e}_{3}.
Como a componente em \hat{e}_{3} é zero, podemos simplesmente escrever
\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=4\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}.
Comentário prático: o vetor soma fica no plano formado por \hat{e}_{1} e \hat{e}_{2}, pois sua componente em \hat{e}_{3} cancelou.

Resposta

\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}=4\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}

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