Dados os vetores \vec{A}=3 \hat{e}_{1}-2 \hat{e}_{2}+\hat{e}_{3}, \vec{B}=2 \hat{e}_{1}-4 \hat{e}_{2}-3 \hat{e}_{3} e \vec{C}=-\hat{c}_{1}+2 \hat{c}_{2}+2 \hat{e}_{3}. Calcule as magnitudes or módulos dos vetors
(c) 2 \vec{A}-2 \vec{B}-5 \vec{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a magnitude (módulo) do vetor
2\vec{A}-2\vec{B}-5\vec{C}.
As informações dadas são os vetores
\vec{A}=3\hat{e}_{1}-2\hat{e}_{2}+\hat{e}_{3},
\vec{B}=2\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}-3\hat{e}_{3},
\vec{C}=-\hat{c}_{1}+2\hat{c}_{2}+2\hat{e}_{3}.
Aqui eu assumo que os índices das bases em \vec{C} têm uma pequena inconsistência tipográfica e que a base é a mesma \{\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}\}. Ou seja, interpreto
\vec{C}=-\hat{e}_{1}+2\hat{e}_{2}+2\hat{e}_{3}.
Partimos dessa interpretação para calcular o vetor pedido e, em seguida, seu módulo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como combinar vetores em coordenadas. Em uma base ortonormal \{\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}\}, somas e multiplicações por escalares são feitas componente a componente. Então calculamos separadamente 2\vec{A}, -2\vec{B} e -5\vec{C}.

Passo 3

Calcule 2\vec{A}. Multiplicar um vetor por escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar. Assim,
2\vec{A}=2(3\hat{e}_{1}-2\hat{e}_{2}+\hat{e}_{3})=6\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}+2\hat{e}_{3}.

Passo 4

Calcule -2\vec{B}. De novo multiplicando cada componente:
-2\vec{B}=-2(2\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}-3\hat{e}_{3})=-4\hat{e}_{1}+8\hat{e}_{2}+6\hat{e}_{3}.

Passo 5

Calcule -5\vec{C}. Com \vec{C}=-\hat{e}_{1}+2\hat{e}_{2}+2\hat{e}_{3},
-5\vec{C}=-5(-\hat{e}_{1}+2\hat{e}_{2}+2\hat{e}_{3})=5\hat{e}_{1}-10\hat{e}_{2}-10\hat{e}_{3}.

Passo 6

Agora somamos componente a componente para obter
\begin{aligned} 2\vec{A}-2\vec{B}-5\vec{C} &=(6\hat{e}_{1}-4\hat{e}_{2}+2\hat{e}_{3})+(-4\hat{e}_{1}+8\hat{e}_{2}+6\hat{e}_{3})+(5\hat{e}_{1}-10\hat{e}_{2}-10\hat{e}_{3})\\[4pt] &=(6-4+5)\hat{e}_{1}+(-4+8-10)\hat{e}_{2}+(2+6-10)\hat{e}_{3}. \end{aligned}
Fazendo as contas em cada componente:
2\vec{A}-2\vec{B}-5\vec{C}=7\hat{e}_{1}-6\hat{e}_{2}-2\hat{e}_{3}.]

Passo 7

Agora vamos calcular o módulo (norma) de um vetor. A fórmula em 3D para o módulo de um vetor \vec{v}=v_{1}\hat{e}_{1}+v_{2}\hat{e}_{2}+v_{3}\hat{e}_{3} é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras estendido: a norma também pode ser obtida como \|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}, e em coordenadas ortonormais \vec{v}\cdot\vec{v}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}.

Passo 8

Aplique a fórmula ao vetor encontrado \;7\hat{e}_{1}-6\hat{e}_{2}-2\hat{e}_{3}. Suas componentes são v_{1}=7, v_{2}=-6, v_{3}=-2. Portanto,
\|\;2\vec{A}-2\vec{B}-5\vec{C}\;\| =\sqrt{7^{2}+(-6)^{2}+(-2)^{2}} =\sqrt{49+36+4} =\sqrt{89}.

Resposta

\sqrt{89}

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