Prove que:
(\vec{A} \times \vec{B}),(\vec{C} \times \vec{D})=(\vec{A}, \vec{C})(\vec{B}, \vec{D})-(\vec{A}, \vec{D})(\vec{B}, \vec{C})

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}).
Informações dadas (explicitas no enunciado): temos quatro vetores quaisquer \vec{A},\vec{B},\vec{C},\vec{D} no espaço tridimensional e queremos mostrar que o produto escalar do produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} com \vec{C}\times\vec{D} pode ser escrito como a diferença de produtos escalares mostrada acima. Não há outras condições especiais sobre os vetores (são gerais).

Passo 2

Vamos introduzir representações por componentes (isso facilita provas algébricas). Dados:
  • A componente i-ésima do vetor \vec{A} será escrita \,A_i. Analogamente para \vec{B},\vec{C},\vec{D}.
  • O produto vetorial em componentes usa o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Definição prática:
(\vec{A}\times\vec{B})_i=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\,A_j\,B_k.
Aqui \varepsilon_{ijk} vale +1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), vale -1 se for permutação ímpar, e vale 0 se algum par de índices repetir. Vou usar a notação em que, quando um índice aparece duas vezes num termo, entendemos que somamos esse índice de 1 a 3 (convenção de soma sobre índices repetidos) — explico mais se não souberes essa convenção, mas é só uma forma compacta de escrever as somas.
Também usamos o delta de Kronecker \delta_{ij}, que é 1 se i=j e 0 se i\neq j. O produto escalar em componentes é
\vec{X}\cdot\vec{Y}=\sum_{i=1}^{3} X_i Y_i.

Passo 3

Escrevemos o lado esquerdo em componentes. Primeiro a componente do produto vetorial e depois o produto escalar entre eles:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\sum_{i=1}^{3} (\vec{A}\times\vec{B})_i \,(\vec{C}\times\vec{D})_i.
Substituindo a fórmula do produto vetorial em componentes:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\sum_{i=1}^{3}\Big(\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\varepsilon_{ijk}A_jB_k\Big) \Big(\sum_{l=1}^{3}\sum_{m=1}^{3}\varepsilon_{i l m}C_l D_m\Big).
De forma mais compacta, usando a convenção de soma sobre índices repetidos,
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i l m}\,A_j B_k C_l D_m.

Passo 4

Agora usamos uma identidade padrão com o Levi-Civita e o delta de Kronecker. A identidade é
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{i l m}=\delta_{j l}\delta_{k m}-\delta_{j m}\delta_{k l}.
Explicação curta do que isso significa: o produto de duas \varepsilon contratadas sobre o índice i dá diferença de produtos de deltas; essa é uma identidade algebraica que pode ser vista comparando determinantes ou verificando os valores caso a caso (se preferires, dá para provar enumerando possibilidades dos índices e usando a definição de \varepsilon). Essa identidade é muito usada para transformar produtos de produtos vetoriais em combinações de produtos escalares.

Passo 5

Substituímos a identidade na expressão do passo 3:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =(\delta_{j l}\delta_{k m}-\delta_{j m}\delta_{k l})\,A_j B_k C_l D_m.
Distribuímos os termos:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =\delta_{j l}\delta_{k m}\,A_j B_k C_l D_m -\delta_{j m}\delta_{k l}\,A_j B_k C_l D_m.

Passo 6

Agora interpretamos as deltas: \delta_{j l} força j=l na soma, substituindo l por j, e \delta_{k m} força k=m. Assim o primeiro termo fica
\delta_{j l}\delta_{k m}\,A_j B_k C_l D_m = A_j B_k C_j D_k.
O segundo termo com \delta_{j m}\delta_{k l} força j=m e k=l, dando
\delta_{j m}\delta_{k l}\,A_j B_k C_l D_m = A_j B_k C_k D_j.
Portanto
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) = A_j C_j \; B_k D_k \;-\; A_j D_j \; B_k C_k.

Passo 7

Reconhecendo produtos escalares nas somas por índices repetidos:
A_j C_j=\vec{A}\cdot\vec{C},\qquad B_k D_k=\vec{B}\cdot\vec{D},
A_j D_j=\vec{A}\cdot\vec{D},\qquad B_k C_k=\vec{B}\cdot\vec{C}.
Substituindo essas identidades obtemos finalmente
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D}) =(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C}),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\cdot(\vec{C}\times\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})

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