Prove que:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade
Informações dadas (explicitas no enunciado): temos quatro vetores quaisquer
no espaço tridimensional e queremos mostrar que o produto escalar do produto vetorial
com
pode ser escrito como a diferença de produtos escalares mostrada acima. Não há outras condições especiais sobre os vetores (são gerais).
Passo 2
Vamos introduzir representações por componentes (isso facilita provas algébricas). Dados:
- A componente
-ésima do vetor será escrita . Analogamente para . - O produto vetorial em componentes usa o símbolo de Levi-Civita
. Definição prática:
Aqui
vale
se
for uma permutação par de
, vale
se for permutação ímpar, e vale
se algum par de índices repetir. Vou usar a notação em que, quando um índice aparece duas vezes num termo, entendemos que somamos esse índice de
a
(convenção de soma sobre índices repetidos) — explico mais se não souberes essa convenção, mas é só uma forma compacta de escrever as somas.
Também usamos o delta de Kronecker
, que é
se
e
se
. O produto escalar em componentes é
Passo 3
Escrevemos o lado esquerdo em componentes. Primeiro a componente do produto vetorial e depois o produto escalar entre eles:
Substituindo a fórmula do produto vetorial em componentes:
De forma mais compacta, usando a convenção de soma sobre índices repetidos,
Passo 4
Agora usamos uma identidade padrão com o Levi-Civita e o delta de Kronecker. A identidade é
Explicação curta do que isso significa: o produto de duas
contratadas sobre o índice
dá diferença de produtos de deltas; essa é uma identidade algebraica que pode ser vista comparando determinantes ou verificando os valores caso a caso (se preferires, dá para provar enumerando possibilidades dos índices e usando a definição de
). Essa identidade é muito usada para transformar produtos de produtos vetoriais em combinações de produtos escalares.
Passo 5
Substituímos a identidade na expressão do passo 3:
Distribuímos os termos:
Passo 6
Agora interpretamos as deltas:
força
na soma, substituindo
por
, e
força
. Assim o primeiro termo fica
O segundo termo com
força
e
, dando
Portanto
Passo 7
Reconhecendo produtos escalares nas somas por índices repetidos:
Substituindo essas identidades obtemos finalmente
que é exatamente o que queríamos demonstrar.