Prove que:
(\vec{A} \times \vec{B})\left[[(\vec{B} \times \vec{C}) \times(\vec{C} \times \vec{A})]=[\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})]^{2}\right.

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade envolvendo três vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{C}. Vou interpretar a expressão como
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\big[(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A})\big]=\big(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})\big)^{2}.
Aqui eu uso a notação de produto misto (ou triplo) definida por
[\vec{A},\vec{B},\vec{C}]:=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}),
ou seja, o lado direito é [\vec{A},\vec{B},\vec{C}]^{2}. O que temos: três vetores quaisquer e devemos mostrar que o escalar à esquerda é igual ao quadrado do produto misto.

Passo 2

Vou usar a identidade do produto vetorial triplo (identidade “bac-cab”):
\vec{X}\times(\vec{Y}\times\vec{Z})=\vec{Y}\,(\vec{X}\cdot\vec{Z})-\vec{Z}\,(\vec{X}\cdot\vec{Y}),
para quaisquer vetores \vec{X},\vec{Y},\vec{Z}. Explico o que cada termo significa: \vec{X}\cdot\vec{Z} e \vec{X}\cdot\vec{Y} são produtos escalares (números), e esses números multiplicam os vetores \vec{Y} e \vec{Z}. Essa identidade é muito útil para transformar um produto vetorial aninhado em combinação linear de vetores mais simples.

Passo 3

Aplique a identidade com
\vec{X}=\vec{B}\times\vec{C},\qquad \vec{Y}=\vec{C},\qquad \vec{Z}=\vec{A}.
Então
(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A}) =\vec{C}\,[(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A}]-\vec{A}\,[(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{C}].
Agora observo que (\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{C}=0, porque \vec{B}\times\vec{C} é perpendicular a \vec{C}. Portanto o segundo termo some e resta
(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A}) =\vec{C}\,[(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A}].

Passo 4

Substituo esse resultado no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\big[(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A})\big] =(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\Big(\vec{C}\,[(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A}]\Big).
Como (\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A} é um escalar, posso tirá‑lo fora do produto escalar:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\big[(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A})\big] =[(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A}]\;(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}.

Passo 5

Reconheço que ambos os fatores são o mesmo produto misto, por uma propriedade cíclica do produto misto:
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=[\vec{A},\vec{B},\vec{C}],
e também
(\vec{B}\times\vec{C})\cdot\vec{A}=\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})=[\vec{A},\vec{B},\vec{C}].
(Justificativa rápida: o produto misto é igual ao determinante das componentes dos vetores, e permutações cíclicas mantêm o mesmo valor.)

Passo 6

Substituindo na expressão do Passo 4 obtemos
(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\big[(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A})\big] =[\vec{A},\vec{B},\vec{C}]\;[\vec{A},\vec{B},\vec{C}] =[\vec{A},\vec{B},\vec{C}]^{2}.
Isto é exatamente a identidade pedida.

Resposta

(\vec{A}\times\vec{B})\cdot\big[(\vec{B}\times\vec{C})\times(\vec{C}\times\vec{A})\big]=\big(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C})\big)^{2}.

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