Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar a igualdade envolvendo três vetores
,
e
. Vou interpretar a expressão como
Aqui eu uso a notação de produto misto (ou triplo) definida por
ou seja, o lado direito é
. O que temos: três vetores quaisquer e devemos mostrar que o escalar à esquerda é igual ao quadrado do produto misto.
Passo 2
Vou usar a identidade do produto vetorial triplo (identidade “bac-cab”):
para quaisquer vetores
. Explico o que cada termo significa:
e
são produtos escalares (números), e esses números multiplicam os vetores
e
. Essa identidade é muito útil para transformar um produto vetorial aninhado em combinação linear de vetores mais simples.
Passo 3
Aplique a identidade com
Então
Agora observo que
, porque
é perpendicular a
. Portanto o segundo termo some e resta
Passo 4
Substituo esse resultado no lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Como
é um escalar, posso tirá‑lo fora do produto escalar:
Passo 5
Reconheço que ambos os fatores são o mesmo produto misto, por uma propriedade cíclica do produto misto:
e também
(Justificativa rápida: o produto misto é igual ao determinante das componentes dos vetores, e permutações cíclicas mantêm o mesmo valor.)
Passo 6
Substituindo na expressão do Passo 4 obtemos
Isto é exatamente a identidade pedida.