Imagine que um homem está sobre um vagão aberto contendo minério de Ferro, de massa total
. O vagão está parado sobre trilhos sem atrito.
O homem deseja colocar o vagão em movimento sobre os trilhos, porém ele consegue no máximo:
- Levantar um peso de 50 kg .
- Jogar um objeto para fora do trilho a uma velocidade de
.
Qual será a velocidade máxima atingida pelo trilho com apenas um lançamento ?
Qual será a velocidade máxima atingida pelo trilho com apenas um lançamento ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Massa total inicial do vagão com o minério (antes do lançamento):
. - O homem consegue levantar (portanto lançar) um peso máximo de
. - Ele consegue lançar esse objeto para fora do vagão com velocidade relativa ao vagão de
. - O vagão e o conjunto estão inicialmente em repouso sobre trilhos sem atrito.
Pergunta: qual será a velocidade máxima do vagão (do conjunto restante) obtida com apenas um lançamento?
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): conservação do momento linear.
- Quando não há forças externas horizontais (aqui: trilhos sem atrito), o momento linear total do sistema antes do evento é igual ao momento linear total depois do evento.
- Momento linear de um corpo é dado por
, onde é a massa e é a velocidade (no eixo horizontal). - Como o sistema (vagão + objeto) está inicialmente em repouso, o momento inicial é
. Isso implica que, logo após o lançamento, a soma dos momentos das partes deve continuar sendo .
Passo 3
Definição das variáveis e convenções de sinal (muito importante para não se confundir):
- Escolhemos a direção para a frente do vagão como positiva. Para impulsionar o vagão para frente, o objeto deve ser lançado para trás.
- Velocidade do vagão após o lançamento:
(o que queremos achar). - Velocidade do objeto em relação ao vagão no instante do lançamento:
para trás. Como é relativa ao vagão, a velocidade do objeto em relação ao solo (terra) será . (Explicação: se o vagão vai para frente com e o objeto é lançado para trás com velocidade relativa ao vagão, então, visto do solo, o objeto tem velocidade igual à velocidade do vagão menos .) - A massa do objeto lançada é
. A massa restante do vagão + minério depois do lançamento é . Observação: aqui assumimos que é a massa total antes do lançamento (conforme o enunciado).
Passo 4
Aplicando conservação do momento linear (passo a passo):
- Momento total após o lançamento deve ser zero: momento do objeto mais momento do restante do vagão é zero. Escrevemos em fórmula:
- Substituímos
na equação:
- Desenvolvendo os termos:
- Observe que
cancela com , sobrando:
- Isolando
:
Passo 5
Interpretação da fórmula e substituição numérica:
- A fórmula
é intuitiva: quanto maior a massa lançada e quanto maior a velocidade relativa , maior o impulso dado; quanto maior a massa total , menor a velocidade adquirida (inércia grande). - Substituindo
, e :
- Calculando:
. Então
Passo 6
Checagem e observações finais (para você não ficar em dúvida):
- Em unidades mais intuitivas,
corresponde a — bem devagar, mas é o que se pode conseguir com um único lançamento dado o enorme . - A conta assume que não há atrito e que a velocidade de lançamento
é medida em relação ao vagão no instante do lançamento (o que é a interpretação usual). - Se o objeto não fizesse parte da massa
inicialmente (situação diferente), a expressão e o valor mudariam; por isso usei a interpretação indicada no enunciado de que é a massa total antes do lançamento.