Imagine que um homem está sobre um vagão aberto contendo minério de Ferro, de massa total M=5.000 \mathrm{~kg}. O vagão está parado sobre trilhos sem atrito.
O homem deseja colocar o vagão em movimento sobre os trilhos, porém ele consegue no máximo:
  • Levantar um peso de 50 kg .
  • Jogar um objeto para fora do trilho a uma velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
    Qual será a velocidade máxima atingida pelo trilho com apenas um lançamento ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Massa total inicial do vagão com o minério (antes do lançamento): M = 5.000\\ \mathrm{kg}.
  • O homem consegue levantar (portanto lançar) um peso máximo de m = 50\\ \mathrm{kg}.
  • Ele consegue lançar esse objeto para fora do vagão com velocidade relativa ao vagão de u = 5\\ \mathrm{m/s}.
  • O vagão e o conjunto estão inicialmente em repouso sobre trilhos sem atrito.
    Pergunta: qual será a velocidade máxima do vagão (do conjunto restante) obtida com apenas um lançamento?

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar): conservação do momento linear.
  • Quando não há forças externas horizontais (aqui: trilhos sem atrito), o momento linear total do sistema antes do evento é igual ao momento linear total depois do evento.
  • Momento linear de um corpo é dado por p = m v, onde m é a massa e v é a velocidade (no eixo horizontal).
  • Como o sistema (vagão + objeto) está inicialmente em repouso, o momento inicial é 0. Isso implica que, logo após o lançamento, a soma dos momentos das partes deve continuar sendo 0.

Passo 3

Definição das variáveis e convenções de sinal (muito importante para não se confundir):
  • Escolhemos a direção para a frente do vagão como positiva. Para impulsionar o vagão para frente, o objeto deve ser lançado para trás.
  • Velocidade do vagão após o lançamento: V (o que queremos achar).
  • Velocidade do objeto em relação ao vagão no instante do lançamento: u = 5\\ \mathrm{m/s} para trás. Como é relativa ao vagão, a velocidade do objeto em relação ao solo (terra) será v_{\text{obj}} = V - u. (Explicação: se o vagão vai para frente com V e o objeto é lançado para trás com velocidade u relativa ao vagão, então, visto do solo, o objeto tem velocidade igual à velocidade do vagão menos u.)
  • A massa do objeto lançada é m = 50\\ \mathrm{kg}. A massa restante do vagão + minério depois do lançamento é M - m. Observação: aqui assumimos que M é a massa total antes do lançamento (conforme o enunciado).

Passo 4

Aplicando conservação do momento linear (passo a passo):
  • Momento total após o lançamento deve ser zero: momento do objeto mais momento do restante do vagão é zero. Escrevemos em fórmula:
m\,v_{\text{obj}} + (M - m)\,V = 0.
  • Substituímos v_{\text{obj}} = V - u na equação:
m\,(V - u) + (M - m)\,V = 0.
  • Desenvolvendo os termos:
mV - mu + MV - mV = 0.
  • Observe que mV cancela com -mV, sobrando:
MV - mu = 0.
  • Isolando V:
V = \frac{m\,u}{M}.

Passo 5

Interpretação da fórmula e substituição numérica:
  • A fórmula V = \dfrac{m\,u}{M} é intuitiva: quanto maior a massa lançada m e quanto maior a velocidade relativa u, maior o impulso dado; quanto maior a massa total M, menor a velocidade adquirida (inércia grande).
  • Substituindo m = 50\\ \mathrm{kg}, u = 5\\ \mathrm{m/s} e M = 5.000\\ \mathrm{kg}:
V = \frac{50 \times 5}{5.000}.
  • Calculando: 50 \times 5 = 250. Então
V = \frac{250}{5.000} = 0{,}05\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Checagem e observações finais (para você não ficar em dúvida):
  • Em unidades mais intuitivas, V = 0{,}05\\ \mathrm{m/s} corresponde a 5\\ \mathrm{cm/s} — bem devagar, mas é o que se pode conseguir com um único lançamento dado o enorme M.
  • A conta assume que não há atrito e que a velocidade de lançamento u é medida em relação ao vagão no instante do lançamento (o que é a interpretação usual).
  • Se o objeto não fizesse parte da massa M inicialmente (situação diferente), a expressão e o valor mudariam; por isso usei a interpretação indicada no enunciado de que M é a massa total antes do lançamento.

Resposta

0{,}05\\ \mathrm{m/s}

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