Dados os vetores \vec{u}=5 \vec{i}-8 \vec{j}, \vec{v}=-\vec{i}-2 \vec{j} e \vec{w}=3 \vec{i}-3 \vec{j} em \mathbb{R}^{2}, determinar
4 \vec{v}-9 \vec{w}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em \mathbb{R}^{2}:
\vec{u}=5\vec{i}-8\vec{j},\qquad \vec{v}=-\vec{i}-2\vec{j},\qquad \vec{w}=3\vec{i}-3\vec{j}.
O que se pede é calcular:
4\vec{v}-9\vec{w}.
Informações relevantes dadas: as componentes de \vec{v} são \vec{v}=(-1,-2) (peguei isso do enunciado) e as componentes de \vec{w} são \vec{w}=(3,-3) (peguei isso do enunciado).

Passo 2

Relembrando, e explicando passo a passo, como operar com vetores no plano:
  • Um vetor \vec{a} escrito como \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j} tem componentes a_x (componente x) e a_y (componente y). Aqui \vec{i} é o vetor unitário na direção x e \vec{j} é o vetor unitário na direção y.
  • Multiplicação por escalar: para um número c e vetor \vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j} vale
c\vec{a}=(c a_x)\vec{i}+(c a_y)\vec{j}.
Isto significa multiplicar cada componente do vetor por c.
  • Subtração de vetores: \vec{p}-\vec{q}=(p_x-q_x)\vec{i}+(p_y-q_y)\vec{j}. Ou seja, subtrai-se componente a componente.

Passo 3

Aplicar multiplicação por escalar em \vec{v}. Como \vec{v}=-\vec{i}-2\vec{j} (ou seja, v_x=-1 e v_y=-2), então
4\vec{v} = 4\bigl(-\vec{i}-2\vec{j}\bigr) = (4\cdot(-1))\vec{i} + (4\cdot(-2))\vec{j}.
Calculando os produtos:
4\vec{v} = -4\vec{i} -8\vec{j}.

Passo 4

Aplicar multiplicação por escalar em \vec{w}. Como \vec{w}=3\vec{i}-3\vec{j} (ou seja, w_x=3 e w_y=-3), então
9\vec{w} = 9\bigl(3\vec{i}-3\vec{j}\bigr) = (9\cdot 3)\vec{i} + (9\cdot(-3))\vec{j}.
Calculando:
9\vec{w} = 27\vec{i} -27\vec{j}.

Passo 5

Fazer a diferença componente a componente:
  • Componente x: (4\vec{v})_x - (9\vec{w})_x = (-4) - 27 = -31.
  • Componente y: (4\vec{v})_y - (9\vec{w})_y = (-8) - (-27) = -8 + 27 = 19.
Portanto as componentes do vetor pedido são (-31,\,19).

Passo 6

Interpretação final rápida e dica para prova: o resultado é simplesmente um vetor com componentes obtidas subtraindo-se as componentes correspondentes após escalar cada vetor. Em qualquer exercício semelhante, siga os mesmos passos: expressar componentes, multiplicar cada componente pelo escalar e depois somar/subtrair componente a componente. Força aí — você tem isso!

Resposta

-31\vec{i}+19\vec{j}

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