Dados os vetores vec{u}=\langle 3,-1,2\rangle e vec{v}=\langle-2,2,1\rangle, calcular:
A área do palalelograma determinado pelos vetores.

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo determinado pelos vetores \mathbf{u}=\langle3,-1,2\rangle e \mathbf{v}=\langle-2,2,1\rangle. O conteúdo necessário é o produto vetorial em \mathbb{R}^3 e o cálculo do módulo desse vetor, pois a área vale \|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|.

Passo 2

O produto vetorial em \mathbb{R}^3 é dado por
\mathbf{u}\times\mathbf{v} =(u_2\,v_3 - u_3\,v_2,\;u_3\,v_1 - u_1\,v_3,\;u_1\,v_2 - u_2\,v_1).
Substituindo \mathbf{u}=(3,-1,2) e \mathbf{v}=(-2,2,1), obtemos
\mathbf{u}\times\mathbf{v} =((-1)\cdot1 - 2\cdot2,\;2\cdot(-2) - 3\cdot1,\;3\cdot2 - (-1)\cdot(-2)) =(-5,-7,4).

Passo 3

O módulo de \mathbf{u}\times\mathbf{v}=(-5,-7,4) é
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| =\sqrt{(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2} =\sqrt{25 + 49 + 16} =\sqrt{90} =3\sqrt{10}.

Resposta

A área do paralelogramo é 3\sqrt{10}.

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