\mathbf{1}^{\mathbf{a}} Questão (4,0) Dados os pontos \mathrm{A}=(-1,-1,1), \mathrm{B}=(0,0,1) e \mathrm{C}=(0,1,2).
Encontre:
a) A equação cartesiana do plano \gamma que contém os pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C .
b) A equação simétrica da reta m que passa pelo ponto D=(-2,2,1) e é perpendicular ao plano \gamma.
c) O ponto I de interseção entre o plano \gamma e a reta m .
d) O ângulo entre a reta (definida pelos pontos D e I ) e o plano definido pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B} e C .
Passo 1
O enunciado dá três pontos A=(-1,-1,1), B=(0,0,1), C=(0,1,2) e pede:
a) a equação do plano \gamma que passa por A,B,C;
b) a equação simétrica da reta m que passa por D=(-2,2,1) e é perpendicular a \gamma;
c) o ponto I onde m intersecta \gamma;
d) o ângulo entre a reta DI e o plano \gamma.
Para isso precisamos: vetores diretores do plano, produto vetorial (para achar o normal), equação de plano, equação de reta, interseção reta-plano e definição de ângulo entre reta e plano via produto escalar.
Passo 2
Vamos achar dois vetores diretores do plano e depois o seu normal: \overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-1),0-(-1),1-1)=(1,1,0) \overrightarrow{AC}=C-A=(0-(-1),1-(-1),2-1)=(1,2,1)
O normal \mathbf{n} vem do produto vetorial
Aqui \mathbf{v}=I-D é proporcional a (1,-1,1)=\mathbf{n}, então \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{v}\| e \sin\alpha=1. Logo
\alpha=90^\circ.
Resposta
a) x - y + z - 1 = 0.
b) \displaystyle \frac{x+2}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{1}.
c) I=\bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{3}\bigr).
d) \alpha=90^\circ.