Determine os valores de p e q para que sejam paralelos os vetores \vec{u}=(p+8,9,9) e \vec{v}= ( 9,10,6 q-5 ). Responda com a soma de p e q.
49. Determine m e n para que se tenha
a) (m, n, 2) \cdot(4,-1,3)=-2
b) (m, n, 2) \times(4,-1,3)=(8,-1,-11)
c) (m, n, 2) \cdot((3,1,2) \times(0,1,-1))=9

Passo 1

Resumindo, temos dois problemas distintos:
  1. Encontrar p e q tais que os vetores
\vec u=(p+8,\,9,\,9), \quad \vec v=(9,\,10,\,6q-5)
sejam paralelos, e então calcular p+q.
2) Para o vetor genérico (m,n,2), determinar m e n nas seguintes situações:
a) produto escalar com (4,-1,3) igual a -2;
b) produto vetorial com (4,-1,3) igual a (8,-1,-11);
c) produto escalar com o vetor \,(3,1,2)\times(0,1,-1) igual a 9.
Conteúdos usados: proporcionalidade de coordenadas para paralelismo, definição de produto escalar, cálculo de produto vetorial e produto escalar de um vetor com um produto vetorial (triplo escalar).

Passo 2

Para que \vec u e \vec v sejam paralelos, existe \lambda tal que
(p+8,\,9,\,9) = \lambda\,(9,\,10,\,6q-5).
Isso gera o sistema
\begin{cases} p+8 = 9\lambda,\\\\ 9 = 10\lambda,\\\\ 9 = (6q-5)\,\lambda. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
\lambda = \frac{9}{10}.
Substituindo na primeira,
p+8 = 9\cdot\frac{9}{10} = \frac{81}{10} \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{81}{10}-8 = \frac{1}{10}.
Substituindo na terceira,
9 = (6q-5)\,\frac{9}{10} \quad\Longrightarrow\quad 10 = 6q-5 \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.
Logo,
p+q = \frac{1}{10} + \frac{5}{2} = \frac{1+25}{10} = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}.

Passo 4

(a) Queremos
(m,n,2)\cdot(4,-1,3) = -2.
Pelo produto escalar,
4m - n + 2\cdot 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 4m - n +6 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 4m - n = -8.
Isto define uma reta de soluções. Por exemplo, isolando n,
\boxed{n = 4m + 8.}

Passo 5

(b) Queremos
(m,n,2)\times(4,-1,3) = (8,-1,-11).
Calculando o produto vetorial:
(m,n,2)\times(4,-1,3) = \bigl(n\cdot3 - 2\cdot(-1),\;2\cdot4 - m\cdot3,\;m\cdot(-1) - n\cdot4\bigr) = (3n+2,\;8-3m,\;-m-4n).
Igualando a (8,-1,-11)\) obtemos o sistema \[\begin{cases} 3n+2 = 8,\\\\ 8-3m = -1,\\\\ -m-4n = -11. \end{cases}
Da primeira: 3n=6\implies n=2\]. Da segunda: \(-3m=-9\implies m=3.
A terceira confere: -3-4\cdot2=-11.
Logo
\boxed{m=3,\quad n=2.}

Passo 6

(c) Primeiro calcule o produto vetorial
(3,1,2)\times(0,1,-1) = \bigl(1\cdot(-1)-2\cdot1,\;2\cdot0-3\cdot(-1),\;3\cdot1-1\cdot0\bigr) = (-3,\;3,\;3).
Queremos então
(m,n,2)\cdot(-3,3,3) = 9 \quad\Longrightarrow\quad -3m +3n +2\cdot3 = 9 \quad\Longrightarrow\quad -3m +3n +6 = 9 \quad\Longrightarrow\quad -3m +3n = 3 \quad\Longrightarrow\quad -n + m = -1 \quad\Longrightarrow\quad n = m+1.
Juntando com a equação de (a), 4m - n = -8, substituímos n=m+1:
4m - (m+1) = -8 \quad\Longrightarrow\quad 3m -1 = -8 \quad\Longrightarrow\quad m = -\frac{7}{3}, \quad n = -\frac{7}{3} + 1 = -\frac{4}{3}.
Portanto
\boxed{m = -\tfrac{7}{3},\quad n = -\tfrac{4}{3}.}

Resposta

p+q = \tfrac{13}{5}
49(a) n = 4m + 8 (infinitas soluções)
49(b) m=3,\;n=2
49(c) m=-\tfrac{7}{3},\;n=-\tfrac{4}{3}

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