Dados os vetores \vec{u}=(3,-1,2) e \vec{v}=(-2,2,1), calcular:
(a) a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v};
(b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,-1,2) e \vec{v}=(-2,2,1) e pede:
(a) a área do paralelogramo determinado por \vec{u} e \vec{v};
(b) a altura desse paralelogramo relativa à base dada por \vec{v}.
O conteúdo principal é produto vetorial para achar a área e norma de vetor para achar a altura.

Passo 2

Para achar a área usamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Por definição,
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & -1 & 2\\\\ -2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \bigl((-1)\cdot1 - 2\cdot2,\; -\bigl(3\cdot1 - 2\cdot(-2)\bigr),\;3\cdot2 - (-1)\cdot(-2)\bigr).
Calculando cada componente,
\vec{u}\times\vec{v} = (-1 - 4,\; -(3 + 4),\; 6 - 2) = (-5,\,-7,\,4).

Passo 3

A área do paralelogramo é o módulo de \vec{u}\times\vec{v}, ou seja
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 49 + 16} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.

Passo 4

Para obter a altura relativa à base \vec{v}, precisamos da norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

A altura h relativa à base \vec{v} é dada por
h = \frac{\text{área do paralelogramo}}{\|\vec{v}\|} = \frac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10}.á

Resposta

(a) 3\sqrt{10}
(b) \sqrt{10}

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