Se \vec{u}=3 \vec{i}-\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{v}=2 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k} e \vec{w}=-\vec{i}+\vec{k}, determinar
(l) \langle\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w}\rangle

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\vec{u}=3\vec{i}-\vec{j}-2\vec{k},
\vec{v}=2\vec{i}+4\vec{j}-\vec{k} e
\vec{w}=-\vec{i}+\vec{k}.
Pede-se o produto misto
\langle\vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle.
Para isso, vamos primeiro calcular o vetor \vec{v}\times\vec{w} e depois o produto escalar com \vec{u}.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} usando a definição via determinante:
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\\ 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}
= \vec{i}\,(4\cdot1 - (-1)\cdot0)\;-\;\vec{j}\,(2\cdot1 - (-1)\cdot(-1))\;+\;\vec{k}\,(2\cdot0 - 4\cdot(-1))
=4\,\vec{i} \;-\;1\,\vec{j}\;+\;4\,\vec{k}
Logo,
\vec{v}\times\vec{w} = 4\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}.

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar \langle\vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle. Em componentes,
\vec{u}=(3,-1,-2) e \vec{v}\times\vec{w}=(4,-1,4). Então
\langle\vec{u},\,\vec{v}\times\vec{w}\rangle = 3\cdot4 + (-1)\cdot(-1) + (-2)\cdot4 =12 +1 -8 =5.

Resposta

\displaystyle 5

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