Dados os vetores \vec{u}=(4,0,3) e \vec{v}=(2,3,3).
Calcule:
(a) \vec{u} \cdot \vec{v}
(b) |\vec{u}|
(c) \vec{u}^{o}
(d) \cos (\vec{u}, \vec{v})
(e) \vec{u} e \vec{v} são ortogonais?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(4,0,3), \quad \vec{v}=(2,3,3).
Precisamos usar operações básicas de geometria analítica: produto escalar, norma de vetor, vetor unitário, cosseno de ângulo entre vetores e condição de ortogonalidade.

Passo 2

Para achar o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}, usamos a definição
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Substituindo u_1=4, u_2=0, u_3=3 e v_1=2, v_2=3, v_3=3, obtemos
\vec{u}\cdot\vec{v} = 4\cdot2 + 0\cdot3 + 3\cdot3 = 8 + 0 + 9 = 17.

Passo 3

Para calcular a norma \lvert \vec{u}\rvert, usamos
\lvert \vec{u}\rvert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.

Passo 4

O vetor unitário na direção de \vec{u} (denotado \vec{u}^{o}) é
\vec{u}^{o} = \frac{\vec{u}}{\lvert \vec{u}\rvert} = \frac{1}{5}(4,0,3) = \bigl(\tfrac{4}{5},\,0,\,\tfrac{3}{5}\bigr).

Passo 5

O cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é dado por
\cos(\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lvert \vec{u}\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert}.
Já temos \vec{u}\cdot\vec{v}=17 e \lvert \vec{u}\rvert=5. Calculamos
\lvert \vec{v}\rvert = \sqrt{2^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}.
Logo,
\cos(\vec{u},\vec{v}) = \frac{17}{5\sqrt{22}}.

Passo 6

Do produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}=17\neq 0, concluímos que \vec{u} e \vec{v} não são ortogonais (vetores ortogonais teriam produto escalar zero).

Resposta

(a) \,17
(b) \,5
(c) \,\bigl(\tfrac{4}{5},\,0,\,\tfrac{3}{5}\bigr)
(d) \,\dfrac{17}{5\sqrt{22}}
(e) Não, pois \vec{u}\cdot\vec{v}=17\neq0.

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