Determine a posião relativa entre os planos \Omega: 2 x+3 y+4 z=5 e \beta: 6 x+2 y+2 z=3.

Passo 1

O enunciado pede para identificar a posição relativa entre os planos \Omega:2x+3y+4z=5 e \beta:6x+2y+2z=3.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: devemos comparar os vetores normais a cada plano e ver se eles são paralelos (caso em que os planos são paralelos ou coincidentes) ou não (caso em que se interceptam numa reta).

Passo 2

O vetor normal de \Omega é
\mathbf{n}_1 = (2,\,3,\,4),
e o vetor normal de \beta é
\mathbf{n}_2 = (6,\,2,\,2).
Para que dois planos sejam paralelos (ou coincidentes), seus normais precisam ser proporcionais, isto é, existir \lambda tal que
(6,2,2) = \lambda\,(2,3,4).
Da primeira componente temos \lambda = 6/2 = 3, mas então a segunda componente exigiria 2 = 3\cdot3 = 9, o que não ocorre. Logo \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são proporcionais.

Resposta

Os planos \Omega e \beta não são paralelos nem coincidentes; eles se cortam formando uma reta.

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