Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Sejam ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) vetores não nulos e linearmente dependentes, então, ( 2 \vec{u},-\vec{v} ) são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado afirma que três vetores não nulos \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são linearmente dependentes e pergunta se disso segue que o par (2\vec{u}, -\vec{v}) também é linearmente dependente. O conteúdo aqui é dependência linear de vetores em espaços vetoriais.

Passo 2

Lembramos que dois vetores \vec{a} e \vec{b} são linearmente dependentes se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\vec{a} = \lambda\,\vec{b}.

Passo 3

O fato de três vetores serem linearmente dependentes significa apenas que há uma combinação não trivial
\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v} + \gamma\,\vec{w} = \vec{0}
com nem todos os coeficientes nulos. Isso não obriga que \vec{u} e \vec{v} sejam colineares (ou seja, dependentes entre si).

Passo 4

Contra-exemplo em \mathbb{R}^2: escolha
\vec{u} = (1,0),\quad \vec{v}=(0,1),\quad \vec{w}=(1,1).
Qualquer três vetores em \mathbb{R}^2 são linearmente dependentes, logo \vec{u},\vec{v},\vec{w} são dependentes. Mas 2\vec{u}=(2,0) e -\vec{v}=(0,-1) não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.

Resposta

Falsa.

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