Analise se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas.
( ) Sejam (
) vetores não nulos e linearmente dependentes, então, (
) são linearmente dependentes.
( ) Sejam (
Passo 1
O enunciado afirma que três vetores não nulos
são linearmente dependentes e pergunta se disso segue que o par
também é linearmente dependente. O conteúdo aqui é dependência linear de vetores em espaços vetoriais.
Passo 2
Lembramos que dois vetores
e
são linearmente dependentes se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe
tal que
Passo 3
O fato de três vetores serem linearmente dependentes significa apenas que há uma combinação não trivial
com nem todos os coeficientes nulos. Isso não obriga que
e
sejam colineares (ou seja, dependentes entre si).
Passo 4
Contra-exemplo em
: escolha
Qualquer três vetores em
são linearmente dependentes, logo
são dependentes. Mas
e
não são múltiplos um do outro, portanto são linearmente independentes.
Resposta
Falsa.