Dados os vetores vec{u}=(3,-1,2) e vec{v}=(-1,2,1), determine vec{w} tal que
(b) \vec{u}=3(\vec{w}-\vec{v})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(3,-1,2) e \vec{v}=(-1,2,1) e pede um vetor \vec{w} que satisfaça
\vec{u}=3(\vec{w}-\vec{v}).
O conteúdo envolvido é álgebra vetorial básica: manipular igualdades de vetores e isolar \vec{w}.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação para isolar \vec{w}-\vec{v}. Dividindo ambos os lados por 3, obtemos
\vec{w}-\vec{v}=\frac{\vec{u}}{3}.

Passo 3

Agora basta isolar \vec{w} somando \vec{v} em ambos os lados:
\vec{w}=\vec{v}+\frac{\vec{u}}{3}.

Passo 4

Calculamos primeiro \dfrac{\vec{u}}{3}. Como \vec{u}=(3,-1,2),
\frac{\vec{u}}{3}=\Bigl(1,\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr).
Agora somamos este vetor a \vec{v}=(-1,2,1):
\vec{w} = \bigl(-1,2,1\bigr) + \Bigl(1,\,-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr) = \Bigl(-1+1,\;2-\tfrac{1}{3},\;1+\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 5

Fazendo as contas nos componentes,
-1+1 = 0,\quad 2-\tfrac{1}{3} = \tfrac{6}{3}-\tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3},\quad 1+\tfrac{2}{3} = \tfrac{3}{3}+\tfrac{2}{3} = \tfrac{5}{3}.

Resposta

\vec{w}=\bigl(0,\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\bigr).

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