Considere os vetores \vec{u}=(1,0,2) e \vec{v}=(1,0,-1). Determine um vetor \vec{w}=(x, y, z) tal que \vec{w} \cdot \vec{u}=3 e \vec{w} \times \vec{v}=(-2,3,-2).
Passo 1
O enunciado pede um vetor \vec{w}=(x,y,z) tal que satisfaz duas condições: o produto escalar com \vec{u}=(1,0,2) vale 3 e o produto vetorial com \vec{v}=(1,0,-1) vale (-2,3,-2). Vamos usar as fórmulas de produto escalar e produto vetorial para obter um sistema de equações em x,y,z.
Passo 2
Do produto escalar \vec{w}\cdot\vec{u}=3 temos
x\cdot1 + y\cdot0 + z\cdot2 = 3
isto é,
x + 2z = 3.
Passo 3
Do produto vetorial \vec{w}\times\vec{v}=(-2,3,-2) usando
\vec{w}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x & y & z \\\\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =(-y,\;x+z,\;-y),
igualamos componente a componente:
-y = -2,\quad x+z = 3,\quad -y = -2.
Da primeira e terceira igualdades vem y=2, e da segunda vem
x + z = 3.
Passo 4
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} x + 2z = 3,\\\ x + z = 3. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira: (x+2z)-(x+z)=3-3 dá z=0. Então x = 3 - z = 3.