Verifique se o vetor \vec{v}=(2,-3,5) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,1), \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,-2) e \overrightarrow{v_{3}}=(1,1,0). Em caso afirmativo, determine os escalares a, b, c tais que \vec{v}=a \overrightarrow{v_{1}}+b \overrightarrow{v_{2}}+c \overrightarrow{v_{3}}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{v}=(2,-3,5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,1), \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,-2) e \overrightarrow{v_{3}}=(1,1,0). Se isso for possível, precisamos encontrar os escalares a,b,c tais que
O que significa escrever \vec{v} como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}}? Significa que as componentes correspondentes devem ser iguais quando somamos os vetores multiplicados pelos escalares. Escrevendo componente a componente:
a(1,0,1)+b(0,1,-2)+c(1,1,0)=(2,-3,5).
Cada coordenada gera uma equação escalar — isso vira um sistema linear em a,b,c.
Passo 3
Vamos escrever as três equações obtidas das componentes (primeira, segunda e terceira coordenadas):
\begin{cases} a + 0\cdot b + c = 2,\\[4pt] 0\cdot a + b + c = -3,\\[4pt] a - 2b + 0\cdot c = 5. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} a + c = 2,\\[4pt] b + c = -3,\\[4pt] a - 2b = 5. \end{cases}]
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Uma forma direta é isolar variáveis nas duas primeiras equações e substituir na terceira.
Da primeira equação:
a = 2 - c.
Da segunda equação:
b = -3 - c.
Substituindo a e b na terceira equação a - 2b = 5: