1. Verifique se o vetor \vec{v}=(2,-3,5) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,1), \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,-2) e \overrightarrow{v_{3}}=(1,1,0). Em caso afirmativo, determine os escalares a, b, c tais que \vec{v}=a \overrightarrow{v_{1}}+b \overrightarrow{v_{2}}+c \overrightarrow{v_{3}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{v}=(2,-3,5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,1), \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,-2) e \overrightarrow{v_{3}}=(1,1,0). Se isso for possível, precisamos encontrar os escalares a,b,c tais que
\vec{v}=a\overrightarrow{v_{1}}+b\overrightarrow{v_{2}}+c\overrightarrow{v_{3}}.
Informações dadas:
  • \vec{v}=(2,-3,5).
  • \overrightarrow{v_{1}}=(1,0,1).
  • \overrightarrow{v_{2}}=(0,1,-2).
  • \overrightarrow{v_{3}}=(1,1,0).

Passo 2

O que significa escrever \vec{v} como combinação linear de \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}},\overrightarrow{v_{3}}? Significa que as componentes correspondentes devem ser iguais quando somamos os vetores multiplicados pelos escalares. Escrevendo componente a componente:
a(1,0,1)+b(0,1,-2)+c(1,1,0)=(2,-3,5).
Cada coordenada gera uma equação escalar — isso vira um sistema linear em a,b,c.

Passo 3

Vamos escrever as três equações obtidas das componentes (primeira, segunda e terceira coordenadas):
\begin{cases} a + 0\cdot b + c = 2,\\[4pt] 0\cdot a + b + c = -3,\\[4pt] a - 2b + 0\cdot c = 5. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} a + c = 2,\\[4pt] b + c = -3,\\[4pt] a - 2b = 5. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Uma forma direta é isolar variáveis nas duas primeiras equações e substituir na terceira.
Da primeira equação:
a = 2 - c.
Da segunda equação:
b = -3 - c.
Substituindo a e b na terceira equação a - 2b = 5:
(2 - c) - 2(-3 - c) = 5.
Agora desenvolve passo a passo:
2 - c + 6 + 2c = 5.
Juntando termos semelhantes:
8 + c = 5.
Isolando c:
c = 5 - 8 = -3.

Passo 5

Com c=-3 voltamos para as expressões de a e b:
a = 2 - c = 2 - (-3) = 5,
b = -3 - c = -3 - (-3) = 0.

Passo 6

Vamos checar substituindo de volta na combinação:
a\overrightarrow{v_{1}}+b\overrightarrow{v_{2}}+c\overrightarrow{v_{3}} = 5(1,0,1)+0(0,1,-2)-3(1,1,0).
Calculando:
5(1,0,1)=(5,0,5),\qquad -3(1,1,0)=(-3,-3,0).
Somando:
(5,0,5)+(-3,-3,0)=(2,-3,5),
que é exatamente \vec{v}. Portanto a escrita é possível e os escalares encontrados estão corretos.

Resposta

a=5
b=0
c=-3

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