Q15: Seja p(x)=-11+19 x+6 x^{2} e \beta=\left\{-1+x+2 x^{2}, \quad 1-3 x, \quad-2+3 x+x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -4
(C) -3
(D) 3
(E) 1
(F) 2
(G) 4
(H) -1
Passo 1
O enunciado dá o polinômio p(x)=-11+19x+6x^{2} e a base \beta=\{\, -1+x+2x^{2},\; 1-3x,\; -2+3x+x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Pede-se: se [p]_{\beta}=(a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Informações relevantes dadas:
p(x)=-11+19x+6x^{2}.
b_{1}(x)=-1+x+2x^{2}.
b_{2}(x)=1-3x.
b_{3}(x)=-2+3x+x^{2}.
Queremos a,b,c tais que a b_{1}(x)+b b_{2}(x)+c b_{3}(x)=p(x), e em particular o valor de c.
Passo 2
Conceito chave (explicado de forma direta): as coordenadas (a,b,c) de p na base \beta significam que p é combinação linear das bases:
Aqui a,b,c são números escalares desconhecidos. A ideia é igualar coeficientes em cada potência de x (constante, x, x^{2}) para obter um sistema linear para a,b,c.
Passo 3
Escrevendo a combinação e agrupando coeficientes de cada potência de x:
\begin{aligned} &\text{constante: } -a + b -2c,\\\ &\text{coef. de }x: \; a -3b +3c,\\\ &\text{coef. de }x^{2}: \; 2a + 0\cdot b + c. \end{aligned}
Esses devem ser iguais aos coeficientes correspondentes de p(x), que são constante -11, coeficiente de x igual a 19 e coeficiente de x^{2} igual a 6. Logo o sistema é
\begin{cases} -a + b - 2c = -11,\\[4pt] a - 3b + 3c = 19,\\[4pt] 2a + c = 6. \end{cases}]
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Começo pela equação mais simples, a terceira:
2a + c = 6 \quad\Rightarrow\quad c = 6 - 2a.
Agora substituo c nas outras duas equações para eliminar c.
Passo 5
Substituindo c=6-2a na primeira equação:
-a + b -2(6-2a) = -11.
Desenvolvendo:
-a + b -12 +4a = -11 \quad\Rightarrow\quad 3a + b -12 = -11.
Portanto
3a + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 1 - 3a.
Passo 6
Agora substituo b=1-3a e c=6-2a na segunda equação: