Q15: Seja p(x)=-11+19 x+6 x^{2} e
\beta=\left\{-1+x+2 x^{2}, \quad 1-3 x, \quad-2+3 x+x^{2}\right\}
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -4
(C) -3
(D) 3
(E) 1
(F) 2
(G) 4
(H) -1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=-11+19x+6x^{2} e a base \beta=\{\, -1+x+2x^{2},\; 1-3x,\; -2+3x+x^{2}\,\} do espaço dos polinômios de grau até 2.
Pede-se: se [p]_{\beta}=(a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcular o valor de c.
Informações relevantes dadas:
  • p(x)=-11+19x+6x^{2}.
  • b_{1}(x)=-1+x+2x^{2}.
  • b_{2}(x)=1-3x.
  • b_{3}(x)=-2+3x+x^{2}.
  • Queremos a,b,c tais que a b_{1}(x)+b b_{2}(x)+c b_{3}(x)=p(x), e em particular o valor de c.

Passo 2

Conceito chave (explicado de forma direta): as coordenadas (a,b,c) de p na base \beta significam que p é combinação linear das bases:
a\bigl(-1+x+2x^{2}\bigr)+b\bigl(1-3x\bigr)+c\bigl(-2+3x+x^{2}\bigr)=p(x).
Aqui a,b,c são números escalares desconhecidos. A ideia é igualar coeficientes em cada potência de x (constante, x, x^{2}) para obter um sistema linear para a,b,c.

Passo 3

Escrevendo a combinação e agrupando coeficientes de cada potência de x:
\begin{aligned} &\text{constante: } -a + b -2c,\\\ &\text{coef. de }x: \; a -3b +3c,\\\ &\text{coef. de }x^{2}: \; 2a + 0\cdot b + c. \end{aligned}
Esses devem ser iguais aos coeficientes correspondentes de p(x), que são constante -11, coeficiente de x igual a 19 e coeficiente de x^{2} igual a 6. Logo o sistema é
\begin{cases} -a + b - 2c = -11,\\[4pt] a - 3b + 3c = 19,\\[4pt] 2a + c = 6. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Começo pela equação mais simples, a terceira:
2a + c = 6 \quad\Rightarrow\quad c = 6 - 2a.
Agora substituo c nas outras duas equações para eliminar c.

Passo 5

Substituindo c=6-2a na primeira equação:
-a + b -2(6-2a) = -11.
Desenvolvendo:
-a + b -12 +4a = -11 \quad\Rightarrow\quad 3a + b -12 = -11.
Portanto
3a + b = 1 \quad\Rightarrow\quad b = 1 - 3a.

Passo 6

Agora substituo b=1-3a e c=6-2a na segunda equação:
a - 3b + 3c = 19.
Substituindo:
a - 3(1-3a) + 3(6-2a) = 19.
Calculando passo a passo:
a -3 +9a +18 -6a = 19.
Agrupando termos de a e constantes:
( a +9a -6a ) + (-3+18) = 19 \quad\Rightarrow\quad 4a +15 = 19.
Assim
4a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 1.

Passo 7

Com a=1 encontramos
b = 1 - 3a = 1 - 3\cdot 1 = -2,
e
c = 6 - 2a = 6 - 2\cdot 1 = 4.
Portanto o valor pedido é c=4.

Resposta

c=4 (alternativa (G))

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