Dados os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1), determine o seguinte produto misto
\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto misto. Informações fornecidas:
\vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1).
A pergunta é: calcule o produto misto \vec{w},\vec{v},\vec{u}.

Passo 2

Definição que vou usar (convenção padrão): o produto misto (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) é dado por
(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Ou seja, primeiro calculamos o produto vetorial \vec{b}\times\vec{c} e depois fazemos o produto escalar do resultado com \vec{a}. Essa definição é equivalente ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Vou usar a forma \vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{u}) porque é direta e elementar.

Passo 3

Fórmula do produto vetorial: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b} = (a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando com \vec{a}=\vec{v}=(2,-1,5) e \vec{b}=\vec{u}=(1,1,3), calculamos componente a componente:
primeira componente:
v_2 u_3 - v_3 u_2 = (-1)\cdot 3 - 5\cdot 1 = -3 - 5 = -8;
segunda componente:
v_3 u_1 - v_1 u_3 = 5\cdot 1 - 2\cdot 3 = 5 - 6 = -1;
terceira componente:
v_1 u_2 - v_2 u_1 = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 2 + 1 = 3.
Portanto
\vec{v}\times\vec{u} = (-8,-1,3).

Passo 4

Fórmula do produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.
Agora calculamos \vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{u}) com \vec{w}=(4,-3,1) e \vec{v}\times\vec{u}=(-8,-1,3):
\vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{u}) = 4\cdot(-8) + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot 3.
Calculemos termo a termo:
4\cdot(-8) = -32,\quad (-3)\cdot(-1)=3,\quad 1\cdot 3=3.
Somando:
-32 + 3 + 3 = -26.

Passo 5

(Verificação rápida via determinante) O produto misto também é o determinante da matriz formada por \vec{w},\vec{v},\vec{u} como linhas:
\det\begin{pmatrix} 4 & -3 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo por Laplace na primeira linha:
4\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 5\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\[2pt] 1 & 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[2pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
4\cdot(-1\cdot 3 - 5\cdot 1) -(-3)\cdot(2\cdot 3 - 5\cdot 1) + 1\cdot(2\cdot 1 - (-1)\cdot 1)
=4\cdot(-8) + 3\cdot 1 + 1\cdot 3 = -32 + 3 + 3 = -26,
confirmando o resultado.]

Resposta

-26

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