Dados os vetores
e
, determine o seguinte produto misto
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede um produto misto. Informações fornecidas:
,
e
.
A pergunta é: calcule o produto misto .
A pergunta é: calcule o produto misto
Passo 2
Definição que vou usar (convenção padrão): o produto misto
é dado por
Ou seja, primeiro calculamos o produto vetorial
e depois fazemos o produto escalar do resultado com
. Essa definição é equivalente ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são
. Vou usar a forma
porque é direta e elementar.
Passo 3
Fórmula do produto vetorial: para
e
,
Aplicando com
e
, calculamos componente a componente:
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
Portanto
Passo 4
Fórmula do produto escalar: para
e
,
Agora calculamos
com
e
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 5
(Verificação rápida via determinante) O produto misto também é o determinante da matriz formada por
como linhas:
Expandindo por Laplace na primeira linha:
Calculando os menores:
confirmando o resultado.]