Dados os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1), determine o seguinte produto misto
\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1) e pede para determinar o produto misto \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Informações dadas: \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5), \vec{w}=(4,-3,1).
Pergunta: calcular o valor numérico do produto misto \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Passo 2
O que é o produto misto? O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é um número definido como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas desses vetores. Em fórmula:
Interpretação geométrica rápida: o valor absoluto do produto misto é o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. O sinal indica a orientação. Aqui cada u_i,v_i,w_i é a coordenada correspondente dos vetores.]
Passo 3
Escolho calcular o determinante por regra de Sarrus (método simples para matrizes 3\times3). A regra de Sarrus diz: some os produtos das três diagonais principais e subtraia a soma dos produtos das três diagonais secundárias. Vou montar a matriz com as linhas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Passo 4
Matriz a avaliar (peguei as coordenadas dos vetores do enunciado):