Dados os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1), determine o seguinte produto misto
\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1) e pede para determinar o produto misto \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.
Informações dadas: \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5), \vec{w}=(4,-3,1).
Pergunta: calcular o valor numérico do produto misto \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}.

Passo 2

O que é o produto misto? O produto misto de três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} em \mathbb{R}^3 é um número definido como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas desses vetores. Em fórmula:
(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=\det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3\\[4pt] v_1 & v_2 & v_3\\[4pt] w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.
Interpretação geométrica rápida: o valor absoluto do produto misto é o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. O sinal indica a orientação. Aqui cada u_i,v_i,w_i é a coordenada correspondente dos vetores.]

Passo 3

Escolho calcular o determinante por regra de Sarrus (método simples para matrizes 3\times3). A regra de Sarrus diz: some os produtos das três diagonais principais e subtraia a soma dos produtos das três diagonais secundárias. Vou montar a matriz com as linhas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 4

Matriz a avaliar (peguei as coordenadas dos vetores do enunciado):
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -1 & 5\\[4pt] 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo das três diagonais principais (produtos a somar):
\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33}&=1\cdot(-1)\cdot1=-1,\\[4pt] a_{12}a_{23}a_{31}&=1\cdot5\cdot4=20,\\[4pt] a_{13}a_{21}a_{32}&=3\cdot2\cdot(-3)= -18. \end{aligned}
Soma das diagonais principais:
\text{Soma}_\text{pos} = -1 + 20 -18 = 1.]

Passo 6

Calculo das três diagonais secundárias (produtos a somar e depois subtrair):
\begin{aligned} a_{13}a_{22}a_{31}&=3\cdot(-1)\cdot4=-12,\\[4pt] a_{11}a_{23}a_{32}&=1\cdot5\cdot(-3)=-15,\\[4pt] a_{12}a_{21}a_{33}&=1\cdot2\cdot1=2. \end{aligned}
Soma das diagonais secundárias:
\text{Soma}_\text{neg} = -12 -15 + 2 = -25.]

Passo 7

Aplicando a regra de Sarrus (determinante = Soma_pos - Soma_neg):
\det = \text{Soma}_\text{pos} - \text{Soma}_\text{neg} = 1 - (-25) = 26.
Como checagem rápida (opcional), posso expandir por cofatores e obteria o mesmo resultado 26.

Resposta

26

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