Dados \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2), encontre r e s de modo que \vec{c}=r \vec{a}+s \vec{b}, sendo c o vetor:
(3,-6)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(1,2) e \vec{c}=(3,-6). Queremos escalar \vec{a} e \vec{b} com r e s, respectivamente, de modo que
\vec{c}=r\,\vec{a}+s\,\vec{b}.
O conteúdo é combinação linear de vetores em \mathbb{R}^2 e a resolução passa por montar e resolver um sistema linear em r e s.

Passo 2

Substituindo as componentes de \vec{a} e \vec{b}, temos
r\,(1,-1)+s\,(1,2)=(3,-6).
Separando nas componentes x e y, obtemos o sistema
\begin{cases} r + s = 3,\\\\ -\,r + 2\,s = -6. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos r:
r = 3 - s.
Substituindo na segunda:
- (3 - s) + 2\,s = -6 \quad\Longrightarrow\quad -3 + s + 2\,s = -6 \quad\Longrightarrow\quad 3\,s = -3 \quad\Longrightarrow\quad s = -1.

Passo 4

Com s = -1, volta-se à expressão de r:
r = 3 - (-1) = 4.

Resposta

r = 4,\;s = -1.

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