Dados os vetores a=(x,-4,3) e b=(x, 2 x, 5). Determine os valores de x para que a seja ortogonal à b. (R: x=5 ou x=3 )

Passo 1

O enunciado dá os vetores
a=(x,-4,3) e b=(x,2x,5)
e pede os valores de x para que a seja ortogonal a b. Em R^3, dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

O produto escalar em R^3 é dado por
acdotb=a1b1 + a2b2 + a3b3
Aqui a1=x, a2=-4, a3=3 e b1=x, b2=2x, b3=5. Portanto:
acdotb = xcdot x + (-4)cdot(2x) + 3cdot5

Passo 3

Simplificando a expressão:
acdotb = x^2 - 8x + 15
Para que haja ortogonalidade, impomos
x^2 - 8x + 15 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática por fatoração:
x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5) = 0,
logo as raízes são x=3 e x=5.

Resposta

x=3 ou x=5.

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