(Grupo A) Verifique se
lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 x2+2 y1 y2+5 z1 z2
é um produto interno em R^3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
llang<=(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rrang<= = x1x2+2y1y2+5z1z2
define um produto interno em R^3.
Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. bilinearidade (linearidade em cada argumento),
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Sejam
;u=(x1,y1,z1),;v=(x2,y2,z2),;w=(x3,y3,z3)
e alphainR. Então
lang<= u+v,wrang<= = (x1+x2)x3+2(y1+y2)y3+5(z1+z2)z3
= x1x3+2y1y3+5z1z3 + x2x3+2y2y3+5z2z3 = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=,
lang<= alpha u,wrang<= = (alpha x1)x3+2(alpha y1)y3+5(alpha z1)z3 = alphal(x1x3+2y1y3+5z1z3r) = alphalang<= u,wrang<=
Assim, é linear em primeiro argumento; por semelhança, é linear no segundo.

Passo 3

Para a simetria observamos que a expressão é simétrica em trocar os pares de coordenadas, pois no reals x1x2=x2x1 etc. Logo
lang<= u,vrang<= = x1x2+2y1y2+5z1z2 = x2x1+2y2y1+5z2z1 = lang<= v,urang<=

Passo 4

Para a positividade definida consideramos
lang<= v,vrang<= = x1^2+2y1^2+5z1^2
Se vneq(0,0,0), então pelo menos uma das coordenadas é não nula e cada termo é não negativo com coeficiente positivo, de modo que
lang<= v,vrang<=>0. Além disso, lang<= v,vrang<==0 somente se x1=y1=z1=0.

Resposta

A forma bilinear dada satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é de fato um produto interno em R^3.

Exercícios relacionados