(Grupo A) Verifique se
é um produto interno em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
define um produto interno em
.
Para isso, precisamos checar três propriedades:
Para isso, precisamos checar três propriedades:
- bilinearidade (linearidade em cada argumento),
- simetria,
- positividade definida.
Passo 2
Verificamos a linearidade no primeiro argumento. Sejam
e . Então
e
Assim, é linear em primeiro argumento; por semelhança, é linear no segundo.
Passo 3
Para a simetria observamos que a expressão é simétrica em trocar os pares de coordenadas, pois no reals
etc. Logo
Passo 4
Para a positividade definida consideramos
Se
, então pelo menos uma das coordenadas é não nula e cada termo é não negativo com coeficiente positivo, de modo que
. Além disso,
somente se
.
Resposta
A forma bilinear dada satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, logo é de fato um produto interno em
.