dag>=r Prove que
integral duplaD(x+y) d x d y=12
onde D é o triângulo limitado pelas retas x=0, x=1, y=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral dupla de (x+y) sobre o triângulo D vale 1/2. O conteúdo envolve cálculo de integrais duplas em regiões planas, e vamos precisar identificar a região D e montar a integral iterada.

Passo 2

A região D é definida pelas retas x=0, x=1, y=0 e y=x. Para descrever D de forma simples, escolhemos integrar primeiro em y de 0 a x e depois em x de 0 a 1. Assim temos:
integral duplaD (x+y),dx,dy = integral0^1 integral0^x (x+y),dy,dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em relação a y. Como x é constante nesse passo, temos

Passo 4

Agora fazemos a integral externa em relação a x:
integral0^1 3x^22,dx = 32 integral0^1 x^2,dx = 32 cdot x^33|0^1 = 32 cdot 13 = 12

Resposta

1/2

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