Seja
a circunferência
, descrita no sentido positivo. Supondo que
onde
. Calcule
e
, quando
.
Passo 1
O enunciado define a circunferência
orientada positivamente e a função de complexo variável
onde
. Precisamos usar o Teorema Integral de Cauchy para encontrar
(caso
) e
quando
.
Passo 2
A parte que integra é um polinômio
, que é analítico em todo
. Pelo Teorema Integral de Cauchy, se
estiver dentro de
(isto é,
), então
Logo, para
vale
Passo 3
Para calcular
, basta avaliar
:
Então
Passo 4
Quando
está fora de
(ou seja,
), o ponto
fica fora da região interior ao contorno e a função
é analítica em todo o disco interior a
. Pelo Teorema de Cauchy (caso sem polos dentro), temos
Portanto, para
, vale
Resposta
g(2)=8\pi i e g(z)=0 quando |z|>3