Seja gamma a circunferência |z|=3, descrita no sentido positivo. Supondo que
g(z)=integralgamma 2 s^2-s-2s-z d s
onde |z| neq 3. Calcule g(2) e g(z), quando |z|>3.

Passo 1

O enunciado define a circunferência |s|=3 orientada positivamente e a função de complexo variável
g(z)=integralgamma2s^2 - s - 2s - z,ds,
onde |z|neq3. Precisamos usar o Teorema Integral de Cauchy para encontrar g(2) (caso |2|<3) e g(z) quando |z|>3.

Passo 2

A parte que integra é um polinômio f(s)=2s^2 - s - 2, que é analítico em todo C. Pelo Teorema Integral de Cauchy, se z estiver dentro de gamma (isto é, |z|<3), então
integralgammaf(s)s - z,ds = 2pi i,f(z)
Logo, para |z|<3 vale
g(z)=2pi i,f(z)

Passo 3

Para calcular g(2), basta avaliar f(2):
f(2)=2cdot2^2 - 2 - 2 = 8 - 4 = 4
Então
g(2)=2pi i cdot 4 = 8pi i

Passo 4

Quando z está fora de gamma (ou seja, |z|>3), o ponto s=z fica fora da região interior ao contorno e a função f(s)/(s-z) é analítica em todo o disco interior a gamma. Pelo Teorema de Cauchy (caso sem polos dentro), temos
integralgammaf(s)s - z,ds = 0
Portanto, para |z|>3, vale
g(z)=0

Resposta

g(2)=8\pi i e g(z)=0 quando |z|>3

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