Derive e simplifique.
y=raizx cos raizx

Passo 1

Vamos derivar a função y=raizxcosraizx. O conteúdo aqui envolve regra do produto e regra da cadeia, já que temos uma raiz quadrada de um produto e dentro desse produto aparece uma função composta.

Passo 2

Escrevendo y como potência, definimos u(x)=xcosraizx e então
y=(u(x))^1/2
Pela regra da cadeia, a derivada é
y'=12,(u(x))^-1/2cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=xcosraizx, aplicamos a regra do produto:
u'(x)=1cdotcosraizx+xcdotddx[cosraizx]
E
ddx[cosraizx]=-sinraizxcdotddx[raizx]=-sinraizxcdot12raizx

Passo 4

Substituindo de volta em u'(x) temos
u'(x)=cosraizx-xcdotsinraizxcdot12raizx=cosraizx-raizx2,sinraizx

Passo 5

Agora montamos y':
y'=12,(xcosraizx)^-1/2l(cosraizx-raizx2,sinraizxr)
Para simplificar, observe que
cosraizx-raizx2sinraizx=2cosraizx-raizxsinraizx2
Então

Passo 6

fazendo a combinação dos fatores, obtemos

Passo 7

y'=12cdot12,2cosraizx-raizxsinraizx(xcosraizx)^1/2 =2cosraizx-raizxsinraizx4raizxcosraizx

Resposta

y'=2cosraizx-raizxsinraizx4,raizxcosraizx.

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