Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A e tem a direção dada pelos vetores \left.\begin{array}{llllll}\vec{v}_{1} & \text { e } & \vec{v}_{2} & \left(\vec{v}_{1} & \text { e } & \vec{v}_{2}\end{array} \quad \ell . i\right), nos seguintes casos:
A=(-1,0,0), \quad \vec{v}_{1}=(0,1,1), \quad \vec{v}_{2}=(2,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A = (-1,0,0) e possui como vetores diretores \vec{v}_{1} = (0,1,1) e \vec{v}_{2} = (2,1,-1). O conteúdo aqui é a forma vetorial de um plano no espaço, que usa um ponto e dois vetores linearmente independentes para gerar todas as direções do plano.

Passo 2

Recordando a forma geral: se P=(x_{0},y_{0},z_{0}) é um ponto no plano e \vec{u},\vec{v} são vetores diretores, então uma parametrização do plano é
\vec{r}(s,t)=\vec{OP} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v},
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

No nosso caso temos
\vec{OP}=(-1,0,0), \vec{u}=\vec{v}_{1}=(0,1,1) e \vec{v}=\vec{v}_{2}=(2,1,-1).
Logo
\vec{r}(s,t)=(-1,0,0)+s\,(0,1,1)+t\,(2,1,-1).
Separando em coordenadas:
x(s,t)=-1 + 0\cdot s + 2\,t = -1 + 2t,
y(s,t)=0 + 1\cdot s + 1\cdot t = s + t,
z(s,t)=0 + 1\cdot s - 1\cdot t = s - t.

Resposta

\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = s + t,\\\ z = s - t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

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