Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A e tem a direção dada pelos vetores \left.\begin{array}{llllll}\vec{v}_{1} & \text { e } & \vec{v}_{2} & \left(\vec{v}_{1} & \text { e } & \vec{v}_{2}\end{array} \quad \ell . i\right), nos seguintes casos:
\mathrm{A}=(1,1,1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{1}=(2,1,-1), \quad \overrightarrow{\mathrm{v}}_{2}=(3,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A=(1,1,1) e tem como direções os vetores \vec v_{1}=(2,1,-1) e \vec v_{2}=(3,-1,2). Vamos usar a forma vetorial de um plano definido por um ponto e dois vetores diretores.

Passo 2

Em geral, se \mathbf r_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é um ponto do plano e \vec v_{1},\vec v_{2} são vetores diretores linearmente independentes, a equação vetorial do plano é
\mathbf r(s,t)=\mathbf r_{0}+s\,\vec v_{1}+t\,\vec v_{2},
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Identificando no nosso caso:
\mathbf r_{0}=(1,1,1),\quad \vec v_{1}=(2,1,-1),\quad \vec v_{2}=(3,-1,2).
Logo,
\mathbf r(s,t)=(1,1,1)+s\,(2,1,-1)+t\,(3,-1,2).

Passo 4

Separando em componentes, obtemos as equações paramétricas:
\begin{cases} x(s,t)=1+2s+3t,\\\ y(s,t)=1+1s-1t,\\\ z(s,t)=1-1s+2t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Resposta

x = 1 + 2s + 3t
y = 1 + s - t
z = 1 - s + 2t

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