Dar um exemplo no qual exista \lim _{x \rightarrow 0} f\left(x^{2}\right) mas \nexists \lim _{x \rightarrow 0} f(x).
Passo 1
Queremos uma função f tal que \lim_{x\to0}f(x^2) exista, mas \lim_{x\to0}f(x) não exista. O conteúdo aqui é entender que, ao compor com x^2, aproximamo-nos de zero sempre por valores positivos de x^2, enquanto em f(x) vale distinguir limites à direita e à esquerda de zero.
Passo 2
Para que \lim_{x\to0}f(x) não exista, basta que o limite pela direita de zero seja diferente do limite pela esquerda de zero. Em compensação, para \lim_{x\to0}f(x^2) existir, precisamos que todos os valores de x^2 (para x\neq0) flirtam sempre com o mesmo “lado” de zero em f.