1. Dar um exemplo no qual exista \lim _{x \rightarrow 0} f\left(x^{2}\right) mas \nexists \lim _{x \rightarrow 0} f(x).

Passo 1

Queremos uma função f tal que \lim_{x\to0}f(x^2) exista, mas \lim_{x\to0}f(x) não exista. O conteúdo aqui é entender que, ao compor com x^2, aproximamo-nos de zero sempre por valores positivos de x^2, enquanto em f(x) vale distinguir limites à direita e à esquerda de zero.

Passo 2

Para que \lim_{x\to0}f(x) não exista, basta que o limite pela direita de zero seja diferente do limite pela esquerda de zero. Em compensação, para \lim_{x\to0}f(x^2) existir, precisamos que todos os valores de x^2 (para x\neq0) flirtam sempre com o mesmo “lado” de zero em f.

Passo 3

Definimos, por exemplo,
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 1, & x>0. \end{cases}
(O valor de f(0) é irrelevante para os limites.)

Passo 4

Analisando \lim_{x\to0}f(x):
- Pela esquerda x\to0^-, f(x)=0.
- Pela direita x\to0^+, f(x)=1.
Como 0\neq1, \displaystyle\lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 5

Analisando \lim_{x\to0}f(x^2):
Para x\neq0, x^2>0 e logo f(x^2)=1.
Portanto
\lim_{x\to0}f(x^2)=1.

Resposta

Um exemplo é
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 1, & x>0. \end{cases}
Então \lim_{x\to0}f(x^2)=1, mas \lim_{x\to0}f(x) não existe.

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