- Seja
um intervalo aberto. Uma função
diz-se de classe
quando é derivável e sua derivada
é de classe
. Prove que se
e
também é de classe
, então a composta
é de classe
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é de classe
em um intervalo aberto
,
é de classe
em um intervalo aberto
e
,
então a composta também é de classe
.
Aqui vamos usar a definição de classe (derivável e derivada de classe
), a regra da cadeia e o fato de que produto e composição de funções
são
.
então a composta
Aqui vamos usar a definição de classe
Passo 2
Como
e
são diferenciáveis em
e
, respectivamente, a composta
é diferenciável em
e sua derivada é dada pela regra da cadeia:
Passo 3
Denotemos
Para concluir que
é de classe
, precisamos mostrar que
é de classe
.
Passo 4
Como
é de classe
, temos
de classe
em
. Como
é de classe
, temos
de classe
em
e
de classe
em
.
- A composição
é de classe em , pois compõe uma função com outra . - O produto de duas funções de classe
, aqui e , é novamente uma função de classe .
Portanto,
é de classe
em
.
Resposta
Como
é de classe
, concluímos que
é de classe
.