Chama-se cobertura de um conjunto X a uma família \mathcal{C} de conjuntos \mathcal{C}_{\lambda} cuja reunião contém X, isto é, X \subset \bigcup_{\lambda \in L} \mathcal{C}_{\lambda}. Quando todos os \mathcal{C}_{\lambda} são abertos, diz-se que \mathcal{C} é uma cobertura aberta. Quando L=\left\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right\} é um conjunto finito, diz-se que X \subset \mathcal{C}_{\lambda_{\infty}} \cup \cdots \cup \mathcal{C}_{\lambda_{1}} é uma cobertura finita. Se L^{\prime} \subset L é tal que ainda se tem X \subset \bigcup_{\lambda^{\prime} \in L^{\prime}} \mathcal{C}_{\lambda^{\prime}}, diz-se que \mathcal{C}^{\prime}=\left(\mathcal{C}_{\lambda^{\prime}}\right)_{\lambda^{\prime} \in L^{\prime}} é uma subcobertura de \mathcal{C}. Prove que toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui uma subcobertura finita.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos: se X é compacto e
\mathcal{C}=(\mathcal{C}_\lambda)_{\lambda\in L}
é uma cobertura aberta de X, então existe uma subcobertura finita de \mathcal{C}.
Aqui usaremos a definição de compacto via sequências (sequencialmente compacto):
“X é compacto se de toda sequência em X podemos extrair uma subsequência convergente com limite em X.”
Passo 2
Suponha, por absurdo, que não exista subcobertura finita. Então para qualquer escolha finita de abertos de \mathcal{C} o excesso ainda deixa pontos de X descobertos. Vamos construir por indução duas sequências:
Uma sequência de pontos \bigl(x_n\bigr)_{n\ge1}\subset X.
Uma sequência de conjuntos abertos \bigl(\mathcal{C}_n\bigr)_{n\ge1}\subset\mathcal{C}.
Início n=1: escolha arbitrariamente \mathcal{C}_1\in\mathcal{C}. Como \{\mathcal{C}_1\} não cobre X, existe
x_1\in X\setminus\mathcal{C}_1.
Ora, x_1\in X é coberto por algum aberto de \mathcal{C}; defina esse aberto como \mathcal{C}_2.
Passo indutivo n\mapsto n+1: suponha definidos \mathcal{C}_1,\dots,\mathcal{C}_n e x_{n-1}\notin\bigcup_{k=1}^{n-1}\mathcal{C}_k.
– Como \{\mathcal{C}_1,\dots,\mathcal{C}_n\} não cobre X, escolhemos
Pelas hipóteses, X é sequencialmente compacto, logo da sequência \bigl(x_n\bigr) extraímos uma subsequência convergente
x_{n_j}\;\xrightarrow[j\to\infty]{}\;x\in X.
Como \mathcal{C} cobre X, existe algum aberto \mathcal{C}_m\in\mathcal{C} tal que x\in\mathcal{C}_m.
Passo 4
Por abertude de \mathcal{C}_m, existe J tal que para todo j\ge J,
x_{n_j}\in\mathcal{C}_m.
Escolha j_0\ge J. Então x_{n_{j_0}}\in\mathcal{C}_m. Pela construção, sempre que um ponto x_{n_{j_0}} cai num aberto de \mathcal{C}, esse aberto aparece como \mathcal{C}_{n_{j_0}+1}. Logo
\mathcal{C}_{n_{j_0}+1} = \mathcal{C}_m.
Logo m = n_{j_0}+1\le n_{j_0}+1.
Agora escolha j_1>j_0. Então n_{j_1}>n_{j_0}, e pela propriedade de construção temos
pois \mathcal{C}_m está entre os \mathcal{C}_1,\dots,\mathcal{C}_{n_{j_1}}.
Isso contradiz o fato de, para j_1\ge J, termos x_{n_{j_1}}\in\mathcal{C}_m.
Passo 5
Chegamos a uma contradição. Logo nossa suposição de que não existia subcobertura finita estava errada. Concluímos, portanto, que toda cobertura aberta de um conjunto compacto possui subcobertura finita.
Resposta
Toda cobertura aberta de X compacto admite uma subcobertura finita.